これが位相的性質であるかの判定法はある?

質問

A⊂C^nはLebesgue可測⇔{(Re(z),Im(z));z∈A}はLebesgue可測

の証明に就いてです。

2つの位相空間(X,T)と(Y,S)とが同相関係(位相同形関係)にある時,
Xでの位相的性質はYでも保存されるのですよね。

C^n と (R^n)^2 とが位相同型なのでLebesgue可測性が位相的性質であれば上記の命題は証明されたことになりますが
Lebesgue可測性って位相的性質と言ってもいいのでしょうか?

そもそも"位相的性質"とは何なのでしょうか?

回答No.1

superkeroyon

>そもそも"位相的性質"とは何なのでしょうか?

同相な位相空間に常に共有される性質を位相的性質というらしいですね。

>Lebesgue可測性って位相的性質と言ってもいいのでしょうか?

少なくともBorel集合かどうかという所までは、位相的性質でしょう。
なぜなら、
１：位相空間AのBorel集合族とは、Aの開集合（閉集合）をすべてふくむ最小の完全加法族であること
２：同相写像によって、集合の和と交わり、両方について、そのまま持っていける
（同相写像fによる和集合の像はそれぞれの集合の像の和であり、交わりについても同様）

からです。

しかし、Lebesgue可測となると、完備性の性質がはいりますから、測度の大きさの概念が入ってきますね。測度に関して0のBorel集合の部分集合であるとか、その補集合であるかの性質がはいってきます。だから、Lebesgue可測性は完全には位相的性質とは言えません。

もっともC^n での測度を、対応する(R^n)^2での測度から定義すれば、完備性も保たれることにはなりますが、、、。

補足

>>そもそも"位相的性質"とは何なのでしょうか?
> 同相な位相空間に常に共有される性質を
> 位相的性質というらしいですね。

位相的性質の一覧が紹介してあるサイトとかないのでしょうか?

とりあえず,

位相的な性質:

Borel集合性(X⊃AがBorel集合⇔f(A)がBorel集合),
G_δ性(X⊃AがG_δ集合⇔f(A)がG_δ集合),
compact性,開被覆(X⊃Aがcompact⇔f(A)がcompact),
Hausdorff性(X⊃AがHausdorff空間⇔f(A)がHaursdorff空間),
開核性(X⊃Aが開核⇔f(A)が開核)

(但し,fは(X,T)→(Y,S)の同相写像)

などが挙げられるのですね(以外と少ないのですね)。
他にも何かありますでしょうか?