「可測空間(A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす」の証明

質問

下記の命題の(iii)がどうしても示せません。

[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度。
⇔(def)
(i) f(2^A)⊂[0,∞],特にf(φ)=0
(ii) C⊂D(C,D∈2^A)⇒f(C)≦f(D)
(iii) f(∪[n=1..∞]C_n)≦Σ[n=1..∞]f(C_n) (C_n∈2^A (n∈N))
[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度とする。E(⊂A)は(A,B)上でf-可測(集合)。
⇔(def)
∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)+f(C∩E^c)

[命題] (A,B)を可測空間とする。(A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす。
[証]
(i) E∈M⇒E^c∈Mは
今E∈Mなので∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)∪f(C∩E^c)が成立。
これはf(C)=f(C∩E^c)∪f(C∩(E^c)^c)とも書けるのでE^c∈M
(ii) φ∈M
∀C∈2^A,f(C)=f(C∩A)=f(C∩(φ∪φ^c))=f((C∩φ)∪(C∩φ^c))と書ける。
従って,f-可測の定義よりφ∈M
(iii) E_i∈M (i∈N)⇒∪[i∈N]E_i∈M
E_i∈Mより∀C∈2^A,f(C)=f((C∩E_i)∪(C∩E_i^c))と書ける。
これからどうやって
f(C)=f((C∩(∪[i∈N]E_i))+f(C∩(∪[i∈N]E_i)^c)
が導けますでしょうか?

回答No.3

kuwaman091 · ベストアンサー

F_1:=ＵE_i, F_2=F_3=…=φと取れば F_i (i∈N)は互いに素ですけど
ＵF_i∈Mとなるかどうかは分かりませんよね。

この場合はF_1∈Mに入っているかわからないので意味がないと思います。定義は、各iに対してF_i∈Mが前提となっております。

論文P16の真ん中部分で、Mは補集合、有限加法性に閉じている。
後、各nに対して、F_n∈M（F_nは互いに素）ならば∪F_n ∈M(可算和集合)も成り立つことは分かったと思います。

後は、
(1)E_1=F_1,E_n=F_n∩(∪_{i=1 to n-1}E_i)^{c} (n>2)とおくと 、
各nに対して　E_n∈Mである。
なぜなら、 補集合と有限加法性から分かると思います。
そして、このようE_nをとると、
∪F_i=∪E_i （可算和集合）
が成立する。
よって,各nに対してF_n∈M　ならば∪F_n∈Mを示せば十分ということになります。

間違ってたらごめんなさい。久しぶりに考えたので。

お礼

有難うございます。
お陰様で漸く納得できました。m(＿ ＿)m

回答No.2

kuwaman091

互いに素な集合の場合を示せば十分だということです。
確かに、σ集合体の定義では、各番号でMに入っているならば可算和集合も入っているですが,

ＵE_i=ＵF_i　　(F_jはjに関して互いに素)
のように取り直してあげるのです。
そしてＵF_i \in Mを示せばいいということです。

お礼

ご回答有難うございます。暫らく考えておりました。

> ＵE_i=ＵF_i　　(F_jはjに関して互いに素)
> のように取り直してあげるのです。

p17上部
「Bがσ集合体になる事,及びB上のσ加法性を示す。{A_n}⊂Bを互いに素とする。
まず,∪[i=1..n]A_n∈Bより
m*(E)=m*(E∩(∪[i=1..n]A_i))+m*(E∩(∪[i=1..n]A_i)^c)」

を拝見しておりますと
ＵE_i=ＵF_i　　(F_jはjに関して互いに素)
でF_i∈Mになるように書いてあります。

任意にE_i∈M (i∈N)を取った時,
F_i (i∈N)をＵE_i=ＵF_i　(F_jはjに関して互いに素)となるように取り直して
しかもF_i∈Mとできる保証はどうやって言えるでしょうか?

単に互いに素になるようにとればいいのなら単純に
F_1:=ＵE_i, F_2=F_3=…=φと取れば F_i (i∈N)は互いに素ですけど
ＵF_i∈Mとなるかどうかは分かりませんよね。

任意のE_i∈M (i∈N)に対して
ＵE_i=ＵF_i
且つ
F_iは互いに素
且つ
F_i∈M
となるF_iの取り方をお教え下さい。m(＿ ＿)m

回答No.1

kuwaman091

P16～17に書いてありましたんで、もし良かったら参考にして下さい。

参考URL：

http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007kuwabara.pdf

お礼

有難うございます。

> P16～17に書いてありましたんで、もし良かったら参考にして下さい。
> http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007kuwabara.pdf?

「残っているのは互いに素な…」とありますが
σ集合体の3つ目の定義は
「(iii) E_i∈M (i∈N)⇒∪[i∈N]E_i∈M」
で互いに素な任意個の和集合がMの元になるのではなく、単に
任意個の和集合がMの元になるのではなかったでしょうか?