デルタ関数

質問

δ(0)＝＋∞
δ(t)＝０(t≠０）
という関数ですが、|δ(0)｜＜M(定数)なるδ関数はなんで存在できないのですか？回答お願いします

回答No.4

ringohatimitu · ベストアンサー

質問者さんの定義されたものは正確に言ってしまえばほとんどいたるところ「0」の関数です。したがって積分しても当然0です。0での値を変えようが何も変わりません。積分には全く影響しないのです。まずはそれを理解した上で「δ関数」なるものを知る方が断然理解が進みます。よく物理等の本にはδ関数と書いてありますが実は関数ではないので混乱される方もいると思います。本にそのように書いてあるのはあくまで「感覚的」なもの（あるいは関数列をとってある意味での極限で捉えようという背景の説明）に過ぎません。正確に理解するには感覚的なものも重要ですが関数とは何かという定義から理解し後で矛盾や曖昧さが出てこないように構築する必要があります。質問にあるところのδ関数は正確には任意の可積分連続関数fに対して∫δ(x)f(x)dx=f(0)を満たす「ある」関数δが存在すればそれを指していますが、残念ながら通常の関数という枠組みではこのような「関数」は連続どころか可積分関数にまで範囲を広げても存在しません。これは関数解析の本に標準的に載っていますのでそちらを参照してもらった方がいいかと思います（簡単に示されます）。結局「通常の関数」に対する作用素（演算）と少し広く捉えることによって定義されます。「すなわち何らかの関数をfにかけて積分する」というfに対する演算の他にδ(f)=f(0)という演算も含めてしまおうという考え方です。これはある意味非常に賢明な方法で特に測度というものも含めているわけです。普通はR上ルベーグ測度ですがδ関数を作用させるということは言い換えればある特別な測度μ（0を含む集合に対しては測度1、他の集合はすべて測度0と定める）をR上に与えたときにそのμでfを積分していることに他なりません。ここでfは連続（したがってf(0)は意味を持つ）としてあることに注意しましょう。このような作用素的あるいは測度論的捉え方による演算（δのような）はシュワルツ超関数と言われています。偏微分方程式にとどまらず測度論が現れる分野（表現論、数論などでも）で色々と使われています。

回答No.3

guuman

δ関数の定義はいろいろあるが
シュワルツの方法はつじつま合わせで感心しない
佐藤のは人気があるがコホモロジーまで使うことは無い
現実主義者としては
十分大きいWをつかって
δ[W](f):=∫[-W<t<W]・dt・exp(-j・2・π・f・t)
をデルタ関数と呼ぶほうが良い
Wは今考えている状況で十分大きい正数とすればよい
実は
δ(f):=∫[-∞<t<∞]・dt・exp(-j・2・π・f・t)
なのだがこれだと関数と呼ぶには変な関数なので
あくまでも十分大きいWとすればよい
1000以下の数を問題にしているのならばW=10^10000
とすればよい
状況に応じてWを非常に大きくしてやればよい
そうすると素直な関数となる

回答No.2

gyrocompas

昔々、白戸三平のまんがで「サスケ」というのがありました。
この中で、猿飛佐助というのは、個人の忍者をあらわすのではなく
ある忍者軍団を総称したものだという話があります。
超関数もこれに似ていまして、

超関数δ（ｘ）とは、
∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝１と言う条件を保持しつつ

ｘ≠０では　ｆ（ｘ）－＞０
ｘ＝０では　ｆ（ｘ）ー＞∞
と、測度的に収束する関数すべての総称であるといことだそうな。
つまり超関数は関数ではないのね
関数群のシンボルみたいなものなのね

回答No.1

ringouri

Int[-∞,+∞]δ(t)dt=1 かつ δ(t)=0 (t≠0) というのが（一応）デルタ関数の定義ですよね。δ(t)=定数 (t=0)であれば、Int[-∞,+∞]δ(t)dt=0 となって、定義に合わなくなり、デルタ関数とは言えなくなってしまいます。
便宜的にδ(0)＝＋∞という書き方をしますが、これは通常の意味での関数値ではありません。（定数に等しいと矛盾が生じるので、そうでないことを表しているだけであって、それ以上の意味はありません。）

要はデルタ関数は通常の関数のように表現できないものだということです。したがって、「超関数」と呼ばれています。