二次関数

質問

二次関数f(x)=2x^2-2ax+b(a,bは定数)があり、y=f(x)のグラフの頂点のy座標は-1である。-1≦x≦2におけるf(x)の最大値をM、最小値をmとする。

(2)Mをaを用いて表せ。
(3)a>0とする。M-m=8aを満たすaの値を求める。

解法がわかりません。回答、よろしくお願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

f(x)=2(x-a/2)^2-a^2/2+b
y=f(x)は下に凸のグラフで、軸の方程式がx=a/2、頂点(a/2,-a^2/2+b)の放物線であることがわかります。

＞y=f(x)のグラフの頂点のy座標は-1である。
これから、
-a^2/2+b=-1
b=a^2/2-1

これをもとの式に代入すると、
f(x)=2(x-a/2)^2-1
y=f(x)は下に凸のグラフで、軸の方程式がx=a/2、頂点(a/2,-1)の放物線

＞-1≦x≦2におけるf(x)の最大値をM、最小値をmとする。

軸の方程式がa/2の値によって左右に動くので、最大値を決めるにはa/2を場合わけして考える必要があります。

-1≦ｘ≦2の中点のｘ座標は（-1+2）/2＝1/2
ｘ＝1/2のときｘ＝-1またはｘ＝2でｆ（ｘ）は最大値をとります。

この点を基準に場合わけします。
i　a/2<1/2のとき、すなわちa<1のときx=2のとき最大値f(2)=a^2/2-4a+7 ∴M=a^2/2-4a+7
ii　a/2≧1/2のとき、すなわちa≧1のときx=-1のとき最大値f(-1)=a^2/2+2a+1　∴M=a^2/2+2a+1

(3)最小値についても同じように場合わけしてみます。
i'　a/2<-1のとき、すなわちa<-2のときx=-1のとき最小値f(-1)=a^2/2+2a+1
ii'　-1≦a/2≦2のとき、すなわち-2≦a≦4のときx=a/2のとき最小値-1　←この範囲では頂点の座標が最小値になります。
iii'　a/2>2のとき、すなわちa>4のときx=2のとき最小値f(2)=a^2/2-4a+7

a>0より、
iは範囲が0<a<1となり、
i'は考えなくてよい。ii'は範囲が0<a≦4となる。

最大値i,iiと最小値ii',iii'より、以下の場合わけになります。
i" 　0<a<1のときiより、M=a^2/2-4a+7
　　　　　　　　　ii'よりm=-1

ii" 1≦a≦4のときiiよりM=a^2/2+2a+1
ii'よりm=-1

iii" 　4<aのときiiよりM=a^2/2+2a+1
　　　　　　　　iii'よりm=a^2/2-4a+7

これらをそれぞれM-m=8aに入れて計算します。

i" a^2/2-4a+7-(-1)=8aよりa=12±8√2　0<a<1よりa=12-8√2

ii"　a^2/2+2a+1-(-1)=8aよりa=6±4√2　1≦a≦4より不適

iii" a^2/2+2a+1-(a^2/2-4a+7)=8aよりa=3　4<aより不適

よって、a=12-8√2

簡単な図を書いて、軸の方程式x=a/2の位置に注意しながら最大値と最小値に関して場合わけをしてみてください。最後の(3)はこれらの準備をしておくとただ代入して式を計算するだけです。

お礼

細かい回答、ありがとうございます。

模範解答よりもわかりやすいです！

いつも本当にありがとうございます_(._.)_

回答No.2

suko22

＃１です。訂正です。

＞-1≦ｘ≦2の中点のｘ座標は（-1+2）/2＝1/2
＞ｘ＝1/2のときｘ＝-1またはｘ＝2でｆ（ｘ）は最大値をとります。←「ｘ＝1/2のとき」というより、正確には「軸の方程式x=a/2=1/2のとき」です。