定数関数？

質問

２問続けての投稿なんですが・・・・・。

(問)　閉区間[ａ,ｂ]で連続なｆ(ｘ)のとる値が常に有理数だけならば、ｆ(ｘ)は[ａ,ｂ]で定数関数である。このことを証明せよ。

(回答)　定数関数でないとすると、ｆ(ａ)≠ｆ(ｃ),ｃ∈(ａ,ｂ]のｃが存在する。
これから背理法で証明しようとしたのですが、行き詰ってしましました。どのようにすればいいのでしょうか？
それとも、背理法以外の解き方がいいのでしょうか？

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

「[a,b]上連続なgがg(a)>0,g(b)<0を満たしていればあるc∈[a,b]が存在してg(c)=0」が中間値の定理の主張です。
これを今の場合g(x)=f(x)-yに適用します。
具体的には無理数yの取り方からf(a)-yとf(b)-yの符号は異なるのでg(x)=0の解がaとbの間に存在することが上の主張から分かりfが無理数の値を持つことになって矛盾というわけです。

回答No.1

ringohatimitu

その方針で良いと思います。異なる２つの有理数f(a),f(c)の間から任意の無理数yをとってきてaとcの間のある点xでf(x)=yとなるxの存在を言えば終わりです。連続性から中間値の定理を利用して言えばよいです。

お礼

すみません、もう少し詳しくお願いします。
とくに「中間値の定理を利用する」ってのが、いまいち分からないのですが↓
ずうずうしくてスミマセン。