多変数関数の上限と下限
次の
F(x,y,z)=2x^2+2y^2+z^2+2xy-4xz-4yz
という２次の３変数関数について、
F(x,y,z)/(x^2+y^2+z^2) ((x,y,z)≠(0,0,0)) -----------(1)
の上限、下限を求めたいのですが、途中からわからなくなってしまい、投稿いたしました。
まず、
F(x,y,z)=(x y z)A(t(x y z))
というように、行列表示にしました。ただし、
|2 1 -2|
A= |1 2 -2|
|-2 -2 1|
です。ここで、Aは実対称行列であり、直行行列Pを用いて対角化しました。Aの固有値はλ=1,-1,5ですので、F(x,y,z)を標準化し、
G(u,v,w)=-u^2+v^2+5w^2
という形にしました。また、(1)式の分母も、u^2+v^2+w^2という形に変換できると思いますので、(1)式は
G(u,v,w)/(u^2+v^2+w^2) ((u,v,w)≠(0,0,0)) -----------(2)
という(2)の上限、下限を求めればよいとなると思います。
上記のとこまで変換できたのですが、肝心の上限下限をもとめることができません。どなたかご教授していただけないでしょうか？よろしくお願いします。
