たたみこみ関数とは？

質問

こんにちは．

たたみこみ関数なるものが，急に定義され式が展開するような箇所があり，困っています．

たたみこみ関数ｍ(t)は，以下のように定義されるとしています．
ｍ^(1)(t)=ｍ(t)

ｍ^(n+1)(t)=∫(0→t)ｍ^(n)(t)*m(t-s)ds

※　記号の注意　ｍ＾(1)は，わざわざ括弧になっているので，たぶんですが添え字で，次の(ｔ)は，ｍ(t)という関数を表していると思います．

どのように解釈するものなのでしょうか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>そもそも左辺のｍ^(n＋1)になるのが分かりかねます．

この書き込みは全体的に想像でしかないことを
最初にお断りしておきます．

これらの式は，
右辺で左辺を定義するという意味では？
つまり

関数列{m^{(k)}}を以下のように定義する
k=1のとき m^{(1)}=m
k>1のとき m^{(k)}=m^{(k-1)}*m
（ここで * は一般的なconvolution）

という意味ではないでしょうか

こうだとすると通常の意味での「累乗」の定義の
類推です，記号もわざと似せているのでは
と思われます．
こう考えるとδ（ディラックのδ関数ですよね）とする
方が不自然のように思われます．

数学的な扱いに関しては，関数解析の分野の本を
あたるのが手っ取りばやいと思います．
convolutionがある意味自然な積になることが
出てるはずです．

＃面白い性質としてはFをフーリエ変換として
＃F(f*g)=F(f)F(g)
＃となったはずですが，多分，質問者さんは
＃こういうことはご存知ではないかと．

＃これ以上は私の知識では想像でも何もいえません

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありませんでした．
まだすべてが分かったわけではありませんが，おかげさまで突破口になるような回答をしていただけたのでたいへんよかったです．
このような計算は確率過程の教科書などで見かけたり，説明があったりすることもその後わかりました．少し時間ができましたら，この回答をさらに読んで解明したいと思います．ありがとうございました．

回答No.1

kabaokaba

>ｍ^(n+1)(t)=∫(0→t)ｍ^(n)(t)*m(t-s)ds

たぶん
ｍ^(n+1)(t)=∫(0→t)ｍ^(n)(s)*m(t-s)ds
だと思います
*は普通の乗法と解釈します

もともとの文脈が分かりませんが
もっと一般的に
(f*g)(t)=∫(0→t)f(s)g(t-s)ds
なんていう風に定義される演算で，
英語名のままconvolotionなんていわれます．

数学では関数解析や偏微分方程式論で多用されます
工学系でもラプラス変換とかと絡んで
頻繁に使われます．

>どのように解釈するものなのでしょうか？
解釈というのはどういう意味でしょうか？
工学的に物理現象との対応ということなのか
それとも数学的な扱いなのか・・・

私は数学系なので，現象的な解釈はできないですが
数学的には，関数空間に積を導入するのに便利で
関数を新しく構築する道具の一つという感じでしょうか

＃基本的な演算のはずなので
＃その筋の本にはでてるんじゃないかと思います

お礼

早々ありがとうございまいた．回答者様の以下の訂正
>ｍ^(n+1)(t)=∫(0→t)ｍ^(n)(t)*m(t-s)ds
たぶん
ｍ^(n+1)(t)=∫(0→t)ｍ^(n)(s)*m(t-s)ds
だと思います

は，その通りだと思います．テキストが間違っているように思います．

質問者様のように一般形なら分かるのですが，
そもそも左辺のｍ^(n＋1)になるのが分かりかねます．

ここでの文脈上の意味はあまり関係ないところですが，積分の中身のm(t-s)も，δ(t－s)の間違いじゃないかと思います．すると，ｍ^(n＋1)が余計分からなくなってしまいます．

補足

あくまで，数学上の整合性のみが聞きたいです．
2式とも，右辺＝左辺の意味が分かりません．