二次関数

質問

aを定数とする関数f(ｘ)=2x^2-6x+7(a≦x≦a+1)の最大値をMとする。
(1)Mをaを用いて表せ。
(2)Mの最小値を求めよ。

良くわかりません。
解き方を教えてください。

回答No.2

m1zn0k31k0 · ベストアンサー

この問題を解くポイントは、軸です。
f(x)=2x^2-6x+7
　　　=2(x-3/2)^2+5/2

に直すことで、軸の座標が（3/2，5/2)であることが分かります。
　　　a≦x≦a+1　という条件があるので場合分けすると
・xが3/2を含まず超えない　　----(1)
・xが3/2を含む　　　　　　　----(2)
・xが3/2を含まず超える　　　-----(3)
の3通りが考えられます。

(1)の時⇒a<1/2 (∵a+1<3/2)
M=f(a)

(2)の時
ですが、2次関数のグラフは書いてみたら分かる通り、軸に関して対称なのでそこに注意してみると、f(a)=f(a+1)　になるときは、軸のx座標が3/2であることから、(a+a+1)/2=3/2　---＊を解いて　a=1がでます。
＊の計算がピンとこないならそのまま　f(a)=f(a+1)　をといて　a=1 を出してもいいです

(2)--1　⇒a=1のとき　
M=f(1)=f(2)=3

(2)--2　⇒1/2≦a<1（∵a<1，a+1≧3/2)
この時(2)---1と違ってa　と　a+1　の中点は軸のx座標より左側にずれるので、

M=f(a)

(2)---3 ⇒1<a≦3/2(∵a≦3/2，a+1>2)
この時(2)---1と違ってa と　a+1 のx座標の中点は軸のx座標より右側にずれるので、

M=f(a+1)

(3)の時⇒　a>3/2

M=f(a+1)
-----------------
基本は
(1)
(2)---1,2,3（1は2か3のどちらか一方かどっちともに加えていい。⇒ここで説明するためにさらに場合わけしたものなので）
(3)
の4つの場合分けで考えます。(2)の軸のちょうど真ん中と右側と左側の3つの場合分けができれば解けるはずです。
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Mの最小値はグラフを見てわかる通り軸のy座標の　5/2 ですね＾＾
このf(x)のグラフが下に凸であることから分かります。

回答No.3

mister_moonlight

こんなのは、グラフを書きながら進めると良い。

f(x)＝2(x-3/2)^2+5/2とし、最大値をＭ　とする。f(x)は下に凸の2次関数で、軸（＝3/2）が動かないのだから、a+1　と　a　とが軸とどういう位置関係になっているかを考えるだけ。

(1)a＋1≦3/2の時、Ｍ＝f(a)＝2a＾2-6a＋7
(2)a≧3/2の時、Ｍ＝f(a+1)＝2a＾2-2a＋3
(3)a≦3/2≦a+1の時、Ｍはf(a)とf(a＋1)の大きいほうが最大値。
従って、f(a＋1)-f(a)＝4(a-1)であるから、
1≦a の時、Ｍ＝f(a＋1)＝2a＾2-2a＋3
a≦1の時、Ｍ＝f(a)より、Ｍ＝2a＾2-6a＋7

以上を纏めて、a-Ｍのグラフを書くと、Mの最小値は自動的に求められる。

回答No.1

noname#160321

ｆ(ｘ)が下に凸になる事は分りますよね。
ですからf(x)が極小値となるｘの値がaとa+1の間に挟まる様に場合分けをします。
もう少し付け加えれば、f(x)が極小値となるｘがa+(1/2)となるような場合が最大値Mの最小値になります。