解答の確認をお願いします。

質問

x^2+6xy+4y^2=3を満たす実数x,yに対し
k=2xy+x+2y の最大値は？
というものですが、私の出した答えは、3/5+√12/5となったのですが、
あっているかどうかを確認したいのです。
あっている場合は解法はいりませんが、
違っていた場合であれば、解法もお願いいたします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

別解（実は質問者はすでにやっておられるかもしれませんが．）
x=a, 2y=b とおくと, 与式は
a^2+3ab+b^2=3
k=ab+a+b
となり, a,bの対称式なのでu=a+b, v=ab と置き換えて
u^2 +v=3 ・・・(1)
k=u+v ・・・(2)
となる．ただし，xとyすなわちa,bの実数条件より，解と係数の関係を考えて,a,bを2解とする
2次方程式 t^2 -ut+v=0 の判別式 Ｄ1＝u^2-4v>=0 <==> v<=(u^2)/4 ・・・(3) を満たす範囲のみ許される．

さて，uv平面上で(1)は放物線v=-u^2 +3 ・・・(1')を表し，(2)は直線v=-u+k ・・・(2')を表すので，
(1')かつ(3)を満たす点(u,v)の集合に対する直線(2')のv切片にあたるkの最大値を求めればよい．

(1')と(3)の共有部分は u^2>=12/5 <==> |u|>=√(12/5) の範囲のみに存在するので，(1),(2)よりvを消去した式
k=-u^2+u+3 =-(u-1/2)^2 +13/4
で軸u=1/2に最も近い u=√(12/5) の点でkは最大値を取る. このとき(1)より v=3/5 で, 求める最大値は(質問者の出した通り)3/5+√12/5

お礼

『さて，uv平面上で(1)は・・・』
以降の部分は私と違うとき方をされていて、参考になりました。
私はk=-u^2+u+3 =-(u-1/2)^2 +13/4を導き、何も考えず(u-1/2)が最小値となるuを求めてときました。
答えがあっていてよかったです。どうもありがとうございました。

回答No.3

oshiete_goo

質問者はすでにお分かりで蛇足ですが，
No.2は結論を書き間違えていて, 3/5+√(12/5)ですね. 失礼いたしました.

回答No.1

aster

＞x^2+6xy+4y^2=3を満たす実数x,yに対し
＞k=2xy+x+2y の最大値は？

最初の式は、(x+2y)^2+2xy＝3 となります。
x+2y＝Y とします。すると、
Y^2+2xy＝3 となり、また、第二の式は

k＝2xy+Y です。
Y^2+2xy＝3 から、2xy＝3-Y^2 です。これをk に代入します。

k＝3-Y^2+Y
dk/dY＝-2Y+1＝0 → Y＝(1/2)
この時、k＝3-(1/2)^2 +(1/2)＝3-1/4+1/2＝13/4

Y＝x+2y＝0 の可能性を考えると、この時、2xy＝3
そして k＝3+0＝3

k＝13/4 が最大のように思えますが。
計算間違いしていないと思いますが。