２変数？

質問

x,yは実数で、
　x^2-2xy+y^2+2x+2y+3=0
をみたすとき、x+yの最大値、xyの最小値とそれらを与えるx,yの値を求めよ。

ある問題集で見た問題です。
x+yの最大値は求められたのですが、xyの最小値とx,yの値の求め方がわかりません。

求め方をご存じのかたは教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

info22

x^2-2xy+y^2+2x+2y+3=(x-y)^2+2(x+y)+3=0　…(1)
と変形できることに着目して
X=x-y,Y=x+y　…(2)
とおくと単なる加減算の変数変換なのでx,yが実数であることX,Yが実数であることは等価である。つまり、X,Yが実数であればx,yも実数になるということです。
以下、X,Yを実数の範囲で考えれば、x,yも実数の範囲で考えていることになるわけです。

(1)は
X^2+2Y+3=0
Y=-(1/2)X^2-(3/2)　…(3)
これは上に凸の放物線です。
Y(=x+y)の最大値はX=0の時 Y=-3/2であることは明らかですね。
このときのx,yは(2)から求められますね。

(2)から
x=(X+Y)/2,y=(Y-X)/2…(4)
これから
xy=(X+Y)(Y-X)/4=k　…(5)　（←これは双曲線、漸近線はY=±X)
とおくと、kの最小値は、(3)と(5)のグラフを描けば明らかですが
(5)が放物線と接する時でX=0,Y=-3/2の時,kは最小となり、
(5)からk=xyの最小値,(4)からこのときのx,yが簡単に求まりますね。

後はご自分でどうぞ！

回答No.4

mister_moonlight

＃2の回答は、まったく間違い。

x＋y＝a、x-y＝bとすると、2x＝a＋b、2y＝a-bとなる。
これを条件式に代入すると、b＾2＝-2a-3≧0より、a≦-3/2。
xy＝（a＾2-b＾2）/4＝{（a＋1）＾2＋1}/4.
よつて、a≦-3/2の範囲で、xyの最小値は、a＝-3/2の時に9/16.
この時、a＝-3/2、b＝0　であるから、x＝y＝-3/4.

xとyが実数から、その和aとその差bは無条件で実数になるから、判別式は不要である事に注意。

回答No.3

mister_moonlight

x+y＝a、xy＝b とすると、xとyは実数から、a＾2-4b≧0　‥‥(1)
x^2-2xy+y^2+2x+2y+3＝（x＋y）＾2－4xy＋2（x＋y）＋3＝0より、a＾2-4b＋2a＋3＝0　であるから、これを(1)に代入すると、a≦-3/2　‥‥(2).
4b＝（a＋1）＾2＋2　から、このbの最小値を(2)の範囲で考える。

実際の計算は、自分でやって。

回答No.2

taxa0102

xy=1/2（x^2+y^2+2x+2y+3）

f（x,y）=x^2+y^2+2x+2y+3
=（x+1）^２+（y＋1）^2+1

これよりx＝y=-1の時xyは最小値1/2をとる。
最後の1/2をかけるのは忘れないでね。

こんな感じですがどうでしょう？
面倒だったのでx+yの最大値は無視してしまいました^^;
確認お願いします。

回答No.1

noname#96505

与式＝(x＋y)^2＋2(x＋y)＋3-4xy＝0
xy＝1/4{(x＋y)^2＋2(x＋y)＋3}
ここで(x＋y)のとりうる値に注意して(x＋y)を新たなx座標に移して
グラフを書けば求まるはずです