3文字の対称式

質問

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

x+y+z=xy+yz+zx=2√2+1,xyz=1を満たす実数x,y,zにたいして次の式の値を求めよ。

(1)1/x+1/y+1/z (2)x^2+y^2+z^2　(3)x^3+y^3+z^3

長い時間考えたのですが、x+y+zを分数に変えてみたりいろいろしたのですが、数学が苦手なためうまくいきませんでした。。
答えはそれぞれ
(1)2√2+1 (2)7(3)10√2+1　です。

解法がまったくといってよいほど思い浮かびません。

教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

happy2bhardcore · ベストアンサー

1→分数にすればいいです
与式＝（x+y+z）/xyz
＝(2√2+1)/1
＝2√2+1

2→問題が二乗してあるので、なんとなく与えられた条件を二乗してみればできそうな気がしませんか？
与式＝（x+y+z）^2 -2(xy+yz+zx)
＝（2√2+1）^2-2(2√2+1)
＝7

3→x^3+y^3+z^3= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-yz-zx-xy)+3xyzを使ってみてください

お礼

happy2bhardcoreさん
ありがとうございます。

少しずつ勉強していきたいと思います。
参考になりました。

また、何か今後ありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.7

koko_u_

>（x+y+z）を三乗して帳尻合わせるより、1さんの方法のがお勧めですね。
ANo.1 氏の解法だと、公式を知っていないと解けないように誤解されそうじゃないですか。
(2)が二乗して解けたのであれば、(3)も三乗すれば解けるのではないかと発想して欲しいですね。

>xy+yz+zx =x+y+zという条件があるので、No1さんのは誤りではありませんでした。
いきなり与式＝(x+y+z)/(xyz) と解答欄に書かれていたら私なら減点しますけど。

お礼

発想できるよう、いっぱい勉強したいと思います。
ありがとうございます。

回答No.6

noname#90793

#5です。
＞1/x+1/y+1/z　＝(xy+yz+zx)/xyzの誤りですね。
xy+yz+zx =x+y+zという条件があるので、No1さんのは誤りではありませんでした。訂正します

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

回答No.5

noname#90793

No1さんの（1）は
1/x+1/y+1/z　＝(xy+yz+zx)/xyz
の誤りですね。

＞せっかく(2)を二乗で求めたんだから、そこは三乗するところでしょう。
（2）を二乗でといてあるのであるならば、（x+y+z）を三乗して帳尻合わせるより、1さんの方法のがお勧めですね。三乗は計算の練習になりますが

お礼

mintEさん
ありがとうございました。
参考になりました。

今後何かありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.4

take_5

又、ミスった。。。。。笑い

＞x＾3＝kx＾2-kx＋1＝0、y＾3＝ky＾2-ky＋1＝0、z＾3＝kz＾2-kz＋1＝0であるから、これらの3辺を加えるとx^3+y^3+z^3＝k（x^2+y^2+z^2）－k（x+y+z）＋3＝k＾3-3k＾2＋3＝（k＾2）*（k-3）＋3＝10√2+1。

　　　　　　　　　　　　↓　

x＾3＝kx＾2-kx＋1、y＾3＝ky＾2-ky＋1、z＾3＝kz＾2-kz＋1であるから、これらの3辺を加えるとx^3+y^3+z^3＝k（x^2+y^2+z^2）－k（x+y+z）＋3＝７k－k＾2＋3＝10√2+1。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

回答No.3

take_5

（3）だけ書いときます。

簡単のために、x+y+z＝xy+yz+zx＝kとすると、xyz＝1よりx、y、zはt＾3-kt＾2＋kt-1＝0の3つの実数解。
（この方程式が因数分解できることは無視しよう）
従って、x＾3-kx＾2＋kx-1＝0、y＾3-ky＾2＋ky-1＝0、z＾3-kz＾2＋kz-1＝0が成立する。
x＾3＝kx＾2-kx＋1＝0、y＾3＝ky＾2-ky＋1＝0、z＾3＝kz＾2-kz＋1＝0であるから、これらの3辺を加えると　
x^3+y^3+z^3＝k（x^2+y^2+z^2）－k（x+y+z）＋3＝k＾3-3k＾2＋3＝（k＾2）*（k-3）＋3＝10√2+1。

お礼

take_5さん
ありがとうございます。

ゆっくり解説してくださいました回答をみて、といていきたいと思います。
また、何か今後ありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.2

koko_u_

>与式＝（x+y+z）/xyz
いや明らかに違うし。

>3→(略)を使ってみてください
せっかく(2)を二乗で求めたんだから、そこは三乗するところでしょう。

お礼

koko_u_さん
ありがとうございます。

細かいところをフォローしてくださいまして感謝です。

また、何かありましたらよろしくお願いいたします。