逆に・・・

質問

十数年来の疑問を解決したいと思い、ここで質問させて頂きます。大した話しではないのですが・・・。
　少なくとも昔の受験問題では、

　　(1) k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0において、kが実数だとする。(x，y)の範囲を図示せよ。
　　(2) k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0において、kが任意の実数だとする。(x，y)の範囲を図示せよ。

といった問題が出ていたと思います。お聞きしたいのは、以下に示す解答に逆の検査が必要かどうかですが、まず私には、(1)と(2)が問題として別物に見えます。

(1)の場合
　(1)は、可能な全ての実数kに対する(x，y)の満たすべき範囲と、読めます（私には）。字数を少なくしたいので、通常よりも切り詰めて書きますが、
　　与式においてkが実数　⇔　与式の判別式Ｄ≧0
なので、
　　Ｄ＝(x＋y)^2－(2xy＋1)＝x^2＋y^2－1≧0
が解答であり、ここで、
　　与式の判別式Ｄ≧0　⇒　与式においてkが実数
を証明しようとしたら、必要十分性を分かっていないとして、減点対象になってもおかしくないと思います。

(2)の場合
　(2)は、任意の実数kなので、少なくとも判別式0以上ということで、
　　与式においてkが任意の実数　⇒　与式の判別式Ｄ≧0
という事になり、十分性の証明が必要と思えます。(x，y)が、
　　Ｄ＝(x＋y)^2－(2xy＋1)＝x^2＋y^2－1≧0
を満たしたところで、kが任意の実数をとれるかは、わからないので。私には、これくらいしか考えつけないのですが、逆を言うために（Ｒは実数全体）、
　　Ａ＝{k∈Ｒ｜k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0　かつ　Ｄ＝x^2＋y^2－1≧0}
とします。
　k∈Ｒとすれば、そのkについて、
　　k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0
すなわち、
　　2(x+k)y＝－2x－k^2－1
を満たす(x，y)は、x≠－kであれば、
　　y＝－(2x＋k^2＋1)／2／(x＋k)
なので存在し、kは与式を満たす実数なので、k∈Ａ。
　x＝－kの場合は、
　　0＝2k－k^2－1
となるので、
　　k^2－2k＋1＝(k－1)^2＝0　⇒　x＝－k＝－1（y任意）　⇒　kは与式を満たす実数なので、k∈Ａ
となる。従ってＲ⊂Ａであるが、Ａ⊂Ｒは明らかなので、Ａ＝Ｒ。
　この証明は、少なくとも高校レベルでは、決して易しくないと思います。

　何を言いたいかというと、(1)，(2)の模範解答に関して、逆の証明を行っているのを見た事がない、という事です（これは、はっきり記憶しています）。その理由なのですが、

　(a) (1)と(2)が同じものだと、多くの場合誤解（？）されている．
　(b) (2)で逆の証明が難しいので、省略された．

と思っていたのですが、考えすぎでしょうか？

回答No.8

tecchan22 · ベストアンサー

いやいや、原因がハッキリして良かったです。

工学やプログラムは非常に論理的な思考をする分野ですが、しかしその工学屋・プログラマーとしての深い性（さが）が、逆に誤解を生む原因になっていたんですね・・。
言葉は悪いが、面白いものです。また、非常に教訓になります。

さて、僕の予想では、ちょっと言葉遣いがあいまいになった所に、各自の性（さが）が入ると、誤解へと入っていってしまいます。

学問的には、よくよく気をつけねばなりませんが、日常生活的には、よくよく気をつけていても、回避が困難ですよね。

だからこそ、誤解にはまった時の脱出が大事であり、難しい。
ということで、誤解からの脱出、僕は評価します。（もう少し時間がかかるかと思った）

僕もかくありたいですね。

お礼

最後を締めくくって頂き、ありがとうございます。

　本当は#6さんにも、#8さんにも20pt差し上げたい気持ちなのですが、それも出来ないので、このような結果で失礼します。

回答No.7

tecchan22

まず、＃３の(2)、

（２） kを定数として、k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0で表されるx-y平面上の図形をCとする。kが実数全体の値をとって変化するとき、Cの存在範囲を図示せよ。

の意味を確認しましょう。

問題の図形を、ｋの値によってかわることから、CでなくCkとおきますね。

ｋが任意の実数の値をとって変わって行くとき、図形Ckは、変わって行きますよね。
その通過領域を求めよ、という問題ですね。

こういう問題の場合、＃３さんがすでに指摘しているように、
いくつかのｋで（いや極端な話、すべてのｋで）図形Ckが空集合であっても、問題にしません。
そういうCkは、通過領域を増やさないだけの話です。
（すべてのｋでCkが空集合ならば、通過領域は空集合になります）

あなたはもしかしたら、「図形」と言ったら、空集合ではまずいのでないか、と思われたのかも知れませんが、（状況にもよるかも知れませんが）、通常、「方程式の表す図形」という場合、空集合も含みます。

上の問題の意味をさらにハッキリさせましょう。

集合の言葉を使って書くと（というほど大げさなものではないが）、平面をR^2＝｛(x,y)：x,yは実数｝とすることはいいですよね。
Ckはその部分集合として、
Ck＝｛(x,y)：k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0,ｘとｙは実数｝
とあらわせます。
問題は、この集合Ckの和集合、つまり、ｋが任意の実数をとって変わるときの、すべてのCkの和集合を求めよ、ということなのです。

だから、どれかのCkが空集合でも、そんなことは何の問題でもないのです。もし空集合であるCkがあれば、そのCkは和集合を増やさないだけの話です。

あなたは、「任意の」という言葉に、なにか特別な意味を付加してしまっているように思えます。

もしCkがすべて空集合でないことを要求したいのならば、
「任意の実数ｋに対して、図形Ckは空集合ではなく」の一文が、問題文の中に書かれていなければなりません。

いや、自分はそれが書いてなくても、問題にせねばならないことに「したい」、とあなたが思われのであれば、数学の問題の書き方のルール自体を変えねばなりません。
あるいは、「任意の」という言葉の意味を変えねばなりません。

問題の意味自体は、上のような意味ですので、Ckがすべて空でないことは、どこにも要求されてはいません。
ですから、純粋に、問題文の意味の取り違えによって起きた問題です。

ただ、もし気になるのならば、個人的に、空になることがあるかどうかを確認することは、まったくOKですよね。もしかしたら、あなた自身がそれが気になるのではないですか？そういうこと（答えを要求されていないが、なにか気になること）は、よくありますからね。
ただ、くどいですが、解答に書く必要はないです。必要は無いとわかった上で書くのはいいですが。

最後に、これを「逆」というのは変です。
それについては、必要ならば、上のことをよく分かって頂いてから、場を改めて説明します。

お礼

＞「図形」と言ったら、空集合ではまずいのでないか
＞Ｃkの定義
＞Ｃkがすべて空でないことは、どこにも要求されてはいません
　それは分かっているつもりなんです。#5の補足の後半を参照下さい。また、#3さんの(1)と(2)の結果が、必ず一致する事も知っています。

＞「任意の」という言葉に、なにか特別な意味を付加してしまっている
＞問題文の意味の取り違えによって起きた問題
　そうだと気づきました。理由はちょっと異常な気もしましたが・・・。もしよければ、#6さんの補足およびお礼の欄を、ご覧下さい。ありがとうございました。

回答No.6

noname#47894

整理しておきたいのですが、
k∈R　⇔　D≧0　は、判別式がこのような目的で使われる理由そのもので、異存はないと思われます。
で、不等式は平面上の領域を表現できるのですから、D≧0　⇔　（x,y）∈W　も、また特に異存はないものと思われます。

ここから、k∈R　⇔　D≧0　⇔　（x,y）∈W　はいえます。
（ですから、回答No.4で「必要条件でおしてゆけば」という部分がありますが、判別式を使う限りにおいて、必要条件のみでおすことはやりたくてもできないと思われます）

で、平面上のWではない領域をZとおくと
k∈虚数の全体集合　⇔　D＜0　⇔　（x,y）∈Z　も同時に成り立つので、平面上での図形を表せる全ての実数kについて、図形C上の点（x,y）は、Zには含まれず、必ずWに含まれるといえます（背理法で示しているのはこの部分であって、「逆」ではありません）。

> (2)には「kが任意になる事の確認義務が含まれる」というのが私の意見になります。

上記の考え方から、任意の実数kについて、Cが平面内の図形を表せることを示せばそれでO.K.だと思います。No.3中の「k≠±1のとき、漸近線x=-k、y=-kの双曲線、k＝±1のとき、直線x=±1およびy=±1　を表す」という部分がそれです。No.5中の「k＞０のときは、式を満たす（x,y）が存在しない」も、それと同じような考えで予防線を張っています。

例えば、
「閉区間[-1，1]の範囲でkの値が変化するとき、Cの存在範囲を図示せよ。」
であれば、もちろん判別式だけでは十分ではなく、解が-1≦k≦1になるような条件も加えて解きます。そうであれば、このような気持ち悪さはないでしょう。で、開区間（-∞，∞）の時は、そのような条件が不要であるため、気持ち悪さを感じられたのではないでしょうか？

お礼

私は長い事、工学環境で仕事をして来たので、きっとkを入力しても、(x，y)が存在しない事が許せなかったのだと思います。しかも現在の私の仕事はプログラマーなので、なおさらそうなったような気がします。
　個人的な意見ですが、工学では出力を与えない入力は無意味です（そのような入力は、ふつう禁止します）。そういうわけで、求まった(x，y)全体で決まるk全体が、実数全体をカバーして欲しいと願っている事に気づきました。明らかな題意の取り違えです。でも昔も同じ事を思ったので、昔から、そういう傾向があったのだろうと思います。

　#1さんは、そのような話だろうと気づき、早々に撤退したのかな？、と思いますが、#6さん，#7さん、最後まで付き合って頂き、ありがとうございました。

補足

自分で言っておいて、なんなのですが、例えば、

＞ただし結果としてk＞0でなければならない事がわかった（#5さんの補足の後半より）．

という場合も題意に含まれるならば、「確認義務はない」とやっと気づきました。

＞「閉区間[-1，1]の範囲でkの値が変化するとき、Cの存在範囲を図示せよ。」
についても、これまでの私ならば、[-1，1]の範囲でkが任意の値をとれる事の確認が必要と言ったでしょうが、やはり不要です。
　もちろん、(∃k)(k∈R)　⇔　D≧0　は当然なのですが、「確認義務がある」と思ったために、(∀k)(k∈R)　⇔　D≧0　を示す必要があると誤解していました。#7さん、今では「逆とは無関係」と思います。

回答No.5

noname#47894

No3です。

>　(2)に関しては、逆の証明が必要と受け取ってよいでしょうか？。

Cの存在領域をWとすれば、判別式を使っていれば、（x,y）∈W⇔k∈R　そのものは明らかです。逆の証明は不要と思います。

で、（x,y）∈W　から求めた解ｋの全体集合が実数全体に一致するか？　という点がおそらく気持ち悪いのだろうと察しまして、「実数の漏れ」がない事を、直感的に示すために背理法の部分を付けましたが、もともと、前半で任意のｋに対して、図形が表せることを示していますので、不要といえば不要だと思います。

次のような例を検討してみてください。
「kを実数の定数として、k^2＋2kx^2＋y^2＝0で表されるx-y平面上の図形をCとする。kが実数全体の値をとって変化するとき、Cの存在範囲を図示せよ。」
これも判別式を使えば、x^4-y^2≧0となって、二つの放物線で挟まれた領域になります（計算はしていませんが、たぶん）。
このとき、いくら「kが実数全体の値をとって変化」するといっても、k＞０のときは、式を満たす（x,y）が存在しないので、図形を現すことができません。だから、（x,y）∈W　から求めた実数解ｋの値の全体集合は、０以下の実数全体の集合になります。

お礼

自分でも、しつこいなぁ～と思いますが、ご一報頂ければ幸いです。

補足

まず、表現の不明確さを指摘して下さり、ありがとうございました。これでやっと、喋れる状態になりました（ご迷惑かもしれませんが・・・）。

＞Cの存在領域をWとすれば、判別式を使っていれば、（x,y）∈W⇔k∈R　そのものは明らかです。
　#4さんの補足にも書きましたが、私には、これが自明とは思えないのです。ここまでの皆さんの話をまとめると、#3さんの(1)と(2)は、問題として同じ意味であり、当然逆を（#4さんに、「逆ではない」と言われましたが）、示す必要はないという事になります。これは私の記憶とも一致しておりまして、(1)と(2)が問題として同じなら、当然と思います。
　という事は、「判別式を使っていれば、（x,y）∈W⇔k∈R」という事が、問題を見た瞬間にわからなければ、変だと思えるのです。何故そう分かるのかが知りたいのです。
　というわけで、(2)には「kが任意になる事の確認義務が含まれる」というのが私の意見になります。そこで、k^2＋2kx^2＋y^2＝0ですが、(2)やこの問題は、任意のkに対して必ず(x，y)が存在する、とは言っていないはずです。なので、ある範囲のkで(x，y)が存在しなくてもかまわない、と思って来ました。ただし結果としてk＞0である事がわかったなら、任意のk＞0に対して確認義務がある、というのが私の意見です。「kが任意の実数を動くとき、与式を満たす(x，y)の範囲を図示せよ」ですから。もちろん、こんな問題には出会いたくありません。

回答No.4

tecchan22

＃２です。

＞＞あなたは結局、(1)も(2)も上の意味にとっているでしょう？
＞初見（はるか昔ですが）ではそうでしたが、意味が違うとだんだん思い出した。(2)は、#3さんの(2)の意味だと最後には思いました。そこで、逆は必要ないのか？、と始まったわけです。

＃３さんの(2)も、僕の(3),(4)と同値です。意味は全く違いません。
だから、同じ解答でＯＫです。

＃３の(2)を普通に解くと、

Ｃ の存在範囲をＷとする。
(x,y)∈Ｗ
⇔ある実数ｋに対して、(x,y)が図形Ｃ上にある
⇔ある実数ｋに対して、k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0　・・★ が成り立つ
⇔ｋの二次方程式 k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0 が実数解を持つ
⇔★の判別式≧０
⇔ x^2+y^2≧1

ですね。

兎に角、必要十分条件で進めてゆけば、逆の確認は必要ないし、
必要条件でおしてゆけば、最後に十分性の確認、つまり逆が必要になります。

＃３さんの解答は、ちょっと言葉足らずのように思うが、まあ後者ですか。

しかし、あなたの(2)の解答で「逆」としてやっていることは、「逆」とは全然違うことです。

あなたが示しているのは、
「任意の実数ｋに対し、 k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0 をみたす実数 x,y の組が必ず存在する」
ことであり、これは「逆」とは全く関係ありません。

まず、
「任意の・・に対して」と、「ある・・・が存在して」を、キチンと区別して、問題文を正しく表現・理解することを、心がけて下さいネ。

お礼

自分でも、しつこいなぁ～と思いますが、ご一報頂ければ幸いです。

補足

まず質問文の表現が下手くそだったために、わかりにくくなった事を最初にお詫びします。

　#3さんの(2)と#2さんの(4)が、同じ問題には見えない、というところが私の疑問です（結果は一致しますが）。それが同じであれば、必要十分で押していけるのですが・・・。
　どうしてかというと、(2)には「kが実数全体の値をとって変化する」という一言が入っているからです。ただ判別式を0以上としただけでは、任意のkに対して、その条件を満たすような(x，y)が存在するかはわからないので、

　　Ｄ(x，y)≧0 ⇒ 任意のkに対して、Ｄ(x，y)≧0を満たす(x，y)が存在する．

を示す事が必要ではないのか？、と思えます。これを逆と言ってはいけないのですか？。私のあげた問題の場合、その(x，y)は存在するのですが、それはそんなに自明な事とは思えないのです。

　#5さん（＝#3さん）が、問題文に「kが実数全体の値をとって変化する」とあっても、必ずしも全てのkで(x，y)が存在するとは限らない例を上げて下さいましたが、これについては、たぶん夜に意見を述べたいと思います（昼休みが終わってしまいましたので・・・）。

回答No.3

noname#47894

問題の表現をちょっと変えたほうが...

（１） ｋについての２次方程式　k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0　が実数解をもつような、(x，y)の存在範囲を図示せよ。

（２） kを定数として、k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0で表されるx-y平面上の図形をCとする。kが実数全体の値をとって変化するとき、Cの存在範囲を図示せよ。

こんな感じでどうですか？

（１）については、判別式Ｄ≧0で、x^2＋y^2≧1　ですから、円の外側＆境界です。

問題の（２）ですが、
k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0は、　２（ｋ＋ｘ）（ｋ＋ｙ）＝k^2-1　と表せるため、k≠±1のとき、漸近線x=-k、y=-kの双曲線、k＝±1のとき、直線x=±1およびy=±1　を表すことができます。
で、解き方はほぼ同じで、判別式Ｄ≧0から、x^2＋y^2≧1　となりこれを領域Iとでもしておきます。
いま、ある実数k1に対して、曲線Cが領域Iではない部分を通過するとします。任意のkに対して、Cは直線か、双曲線を表すので、k1に対応するCも、直線か、双曲線を表しています。これが、領域I以外の部分を通過するとき、その部分から（x,y）の組を選ぶと、判別式Ｄ＜0とならなければなりません。よって、k1は虚数解となり矛盾します（背理法）。

というわけにはいきませんかね？

お礼

質問文に述べた理由で、あなたの(1)と(2)、どちらに対しても逆の証明は必要ないのだと勝手に判断し、受験では判別式の部分しか解答しませんでした（合格できたのは幸運だったのかな？）。
　(2)に関しては、逆の証明が必要と受け取ってよいでしょうか？。であれば、すごく納得できます。#2さんのお礼に書いた理由（恐らく自分が原因）で、明快な回答をもらった事がなかったので・・・。

　ありがとうございました。

補足

少々自信がなかったので、こう言いますが、私の逆の証明に、別解を与えて下さったんですよね？。
　私事ですが、大学では構造解析（応用力学の）を専攻し、会社に入ってからも、ずっとコンピューターと付き合っていたので、思考がどうしてもデジタルになってしまい、図形的な発想がなかなか出来ません。
　質問文の中でy＝の式に直したのは、「|x|＜1の範囲で任意の（x，k）を与えてもyを計算できるんだから、文句あるか！」という身も蓋もない発想です。

回答No.2

tecchan22

(1)(2)ともに、この問題文では、意味不明です。

(3) x,y を実数とする。
ｋの二次方程式 k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0 が実数解を持つような、(x，y)の範囲を図示せよ。

或いは同じことですが、

(4) k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0 をみたす実数ｋが存在するような、実数 x,y の組(x，y)の範囲を図示せよ。

ならば、分かります。
そして、「実数係数の二次方程式が実数解を持つ」⇔「判別式≧０」
なので、判別式を求めるだけで答えが出ます。

あなたは結局、(1)も(2)も上の意味にとっているでしょう？
ならば、長文の解答は不必要です。
判別式≧０を図示するだけです。

(2)がもしも、「x,y が任意の実数ｋに対して、k^2＋2(x＋y)k＋(2xy＋1)＝0 をみたす」という意味ならば、そんな x,y の組はありませんから、答えは「解なし」になります。

お礼

＞あなたは結局、(1)も(2)も上の意味にとっているでしょう？
　初見（はるか昔ですが）ではそうでしたが、意味が違うとだんだん思い出した。(2)は、#3さんの(2)の意味だと最後には思いました。そこで、逆は必要ないのか？、と始まったわけです。
　#1さんへのお礼にも書きましたが、問題を「作る（言い表す）」となると、また難しいものですね。
　昔（高校時代）に先生に質問に行った時に、納得する解答が得られなかったのは、恐らくあなたが仰るように、質問内容が意味不明だったからだろうと、今なら分かります。

　訊いて見て良かったです。ありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

おいでになられましたね＾＾

　まず、(１)についてはｋが実解を持つことと判別式Ｄ≧０であることは同値(必要十分)ですので、逆を示す必要はないと思います。
　次に、（２）については、私の誤解でしたら恐縮ですが、任意の実数ｋに対して常に成り立たなければならない、ｋのついての恒等式に見えます。その場合、ｋ＾２の係数、ｋ、の係数、定数項のすべてが０になることが必要十分になります。しかし、ｋ＾２の係数は、ｘ、ｙによらず１ですから、任意の実数ｋに対して問題の式を満たす条件が存在しないことになると思います（したがって、条件を満たすｘとｙは存在しない）。

　以上のことから、ご質問にお答えしますと次のようになります。

(a)　(１)は実解を持つための条件を求めるものである一方、(２)は恒等式を成立させるための条件を求めるものであり、異なるものに見えます。

(b)　(２)の問題は、恒等式の考え方からすれば、常に必要十分で論理を展開しますので、逆の証明は不要だと思います。

お礼

なるほどぉ～。もっともです。

　私は日常的に数学を「使用」しますが、問題を「作る（言い表す）」となると、また難しいものですね。(2)は、#3さんの(2)の意味で書いたつもりでした。

　いずれにしろ、(1)と(2)は、別の意味にとるのが普通の感覚だと分かっただけでも嬉しいです。ありがとうございます。