数1 2次関数の解答をお願いします H24.05

質問

下記が問題文です。【1】～【5】が問題箇所です。
出来れば問題の解答の解説も付けて頂けると嬉しいです。

2次関数を、
y=-2x^2+4(a+1)x+7 (aは実数)…(1)
y=x^2-(m^2+3)x+4m^2-4 (mは実数)…(2)
とする。

(1) (1)のグラフの頂点のy座標は、【1】である。

(2) 2次関数(1)がx=2で最大値をとるとき、a=【2】、最大値は【3】である。

(3) (2)のグラフは、mの値に関係なく、つねに点A【4】を通る。
また、(1)のグラフが点Aを通るとき、a=【5】である。

～自分の考え～

【1】y=-2x^2+4(a+1)x+7 を平方完成してやりたいけど、この方法が分からない。

【2】y=-2x^2+4(a+1)x+7にx=2を代入してやると a=-8/7になるが答えが選択肢にないため分からない。

【3】～【5】までは考えてみましたがよくわかりませんでした。

すみませんが、解答よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(3)について再回答します。

(3) (2)のグラフは、mの値に関係なく、つねに点A【4】を通る。
＞y=x^2-(m^2+3)x+4m^2-4の右辺が定数kになるような定数x0が
見つかればmの値にかかわらず点(x0,k)を通ることになるので、
x^2-(m^2+3)x+4m^2-4=kとしてxを求めると、
x=[(m^2+3)±√{(m^2+3)^2-4*(4m^2-4-k)}]/2
={(m^2+3)±√(m^4+6m^2+9-16m^2+16+4k)}/2
={(m^2+3)±√(m^4-10m^2+25+4k)}/2
このxがmの値にかかわらない定数になるためには、この式から
mが消える必要があり、そのためには√(m^4-10m^2+25+4k)の
(m^4-10m^2+25+4k)がHを定数として(m^2+H)^2の形である必要が
あるので、m^4-10m^2+25+4k=(m^2+H)^2とおき、
m^4-10m^2+25+4k=m^4+2Hm^2+H^2のmの係数を比較して、
-10=2H、25+4k=H^2からH=-5、k=(H^2-25)/4=0が得られる。
このk=0を上で求めたx={(m^2+3)±√(m^4-10m^2+25+4k)}/2に
代入すると、x={(m^2+3)±√(m^4-10m^2+25)}/2
={(m^2+3)±√(m^2-5)^2}/2={(m^2+3)±(m^2-5)}/2から
x={(m^2+3)+(m^2-5)}/2=m^2-1、{(m^2+3)-(m^2-5)}/2=4となり、
このうち定数となるxはx=4なので、x0=4となる。
以上のkとx0から点A(4,0)【4】
また、(1)のグラフが点Aを通るとき、a=【5】である。
＞y=-2x^2+4(a+1)x+7にx=4、y=0を代入して
0=-2*4^2+4(a+1)*4+7=-32+16a+16+7=16a-9からa=9/16【5】

お礼

何問も解答していただきありがとうございます。

回答No.2

yyssaa

(1) (1)のグラフの頂点のy座標は、【1】である。
＞y=-2x^2+4(a+1)x+7=-2{x^2-2(a+1)x}+7
=-2{x-(a+1)}^2+7+2*(a+1)^2=-2{x-(a+1)}^2+2a^2+4a+9
だからグラフの頂点は(a+1,2a^2+4a+9)
よって2a^2+4a+9【1】
(2) 2次関数(1)がx=2で最大値をとるとき、a=【2】、最大値は【3】である。
＞(1)のグラフはx^2の係数が負だから上に凸(∩のような形)の
二次曲線。従ってグラフの頂点(a+1,2a^2+4a+9)のy座標が
最大値であり、そのときのx座標はa+1だからa+1=2からa=1【2】
2a^2+4a+9にa=1を代入して15【3】
(3) (2)のグラフは、mの値に関係なく、つねに点A【4】を通る。
＞y=x^2-(m^2+3)x+4m^2-4はx=0でy=4m^2-4だから
点A(0,4m^2-4)【4】
また、(1)のグラフが点Aを通るとき、「a=【5】」ではなく
「m=【5】」ではないですか？
ならば答えは
＞y=-2x^2+4(a+1)x+7はx=0でy=7だから4m^2-4=7、4m^2=11
m^2=11/4、m=±(√11)/2【5】

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。

補足

すいません【4】の選択肢の中に (0,4m^2-4) がありませんでした。

ア(1、5) イ(2、1) ウ(3、0) エ(4、0) オ(5、2)

という感じになっています。

【5】「m=【5】」ではなく、「a=【5】」で間違いないです。

ア -1/16 、 イ 1/16 、 ウ 5/16 、 エ 7/16 、オ 9/16

となっています。

回答No.1

Tacosan

「平方完成」ってどういうこと? y=-2x^2+4(a+1)x+7にx=2を代入してやると, なんで「a=-8/7になる」の? 何をどう考えて, どこがどう「よくわからない」の?

なんというか, 言葉や文章の意味を理解できていないような気がする.