2変数関数 対称式の場合

質問

はじめまして。Lussiahと申します。
ｘ、ｙが実数で、２ｘ（2乗）＋３ｘｙ＋２ｙ（2乗）＝１を満たすとき、ｘ＋ｙ＋ｘｙの最大値と最小値が存在すれば求めなさい。
という問題なんですが、知識が足りないものでタイトルの「対称式の場合」の意味もよく分からず途方にくれています。どなたか解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

なんとか1変数にしてしまわないとつらいですね。
x+y=u,xy=vとおきます。（対称式、というのはそうしろという意味）
x,yが実数であるためにはt^2-ut+v=0がの判別式が負でない実数でないといけないので、
u^2-4v≧0・・・・・(a)
次に条件式は2u^2-v=1ですからv=2u^2-1・・・・・(b)
これを(a)に代入して変形するとu^2≦4/7・・・・・(c)
さて知りたいのはu+vの最大・最小なので(b)より
v+u=2u^2+u-1=2{u-(1/4)}^2-(9/8)
これはuの2次関数で、uの範囲が決まっているわけですから・・・・あとはどうぞ。

お礼

なるほど・・・。PC壊れて御礼が遅れてしまいました。すみません。ようやく光（？）が見えてきた気がします。これを参考に問題を解いてみたいと思います。ありがとうございました。

回答No.2

hakugen

#1さんの付け足しで一つ…。

対称式というのは変数を入れ替えても同じ値になるという式のことです。
例えば、
　x+yとy+x
　xyとyx
　1/x+1/yと1/y+1/x
のようなもののことです。

実際に問題を解くときは#1さんのようにやるのが分かりやすいかと思います。

お礼

補足、ありがとうございます。今度、対称式の問題が出てきたときのために覚えておきたいと思います。