x,yが2x^2+3y^2＝1をみたす実数のとき、x^2-y^2＋xy

質問

x,yが2x^2+3y^2＝1をみたす実数のとき、x^2-y^2＋xyの最大値を求めよ

解き方を教えてください
よろしくお願いします

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

x=cost/√2　　　　(1)
y=sint/√3　　　　(2)

とおくとx,yが2x^2+3y^2＝1を満たす。
0≦t<2π　　　　　(3)

(1),(2)を
z=x^2-y^2＋xy
へ代入,
倍角公式をつかって整理すると
z=5cos2t/12+√6sin2t/12+1/12
単振動の合成によって

z=√31sin(2t+a)/12+1/12 (4)

ここにsina=3/√31, cosa=√6/√31
aは0<a<π/4なる角度である。

(4)はsin(2t+a)＝1のとき最大値（1+√31）/12をとる。
この時2t+a=π/2即ち
　　　ｔ＝π/4-a/2
このｔは(3)の中に入っている。

(4)はsin(2t+a)＝-1のとき最小値（1-√31）/12をとる。
この時2t+a=π3/2即ち
　　　ｔ＝π3/4-a/2
このｔは(3)の中に入っている。

お礼

最後まで詳しい説明ありがとうございます！
よく理解できました

回答No.6

info22_

別解として参考URLの「ラグランジュの未定乗数法」を使う方法です。
g(x,y)=2x^2+3y^2-1;f(x,y)=x^2-y^2+xy
h(x,y)=f(x,y)+tg(x,y)
h_x(x,y)=2x+y+4xt
h_y(x,y)=x-2y+6yt

ラグランジュの未定乗数法の連立方程式は
2x^2+3y^2=1
2x+y+4xt=0
x-2y+6yt=0

x,yを求めると
x=±√(31-5√31)/(2√31)≒±0.1597,
y=±(31-5√31)^(3/2)/(62(5√31-28))≒-(±0.5624)（復号同順）
このときf(x,y)は最小値=(1-√31)/12)≒-0.3806 …質問ではこれは求める必要なし。

x=±√(31+5√31)/(2√31)≒±0.6888,
y=±(31+5√31)^(3/2)/(62(5√31+28))≒±0.13037（復号同順）
このときf(x,y)は最大値=(1+√31)/12≒0.5473

[検証]f(x,y)=kとおいた特このグラフがg(x,y)=0と交点を持つ範囲から、kの最大値、最小値が類推できますね。グラフを参考にして下さい。

参考URL：

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lagrange/l1.html

お礼

図まで詳しくありがとうございます！
ラグランジュの未定乗数法は初めて知りました
そういう別解もあるんですね！
ありがとうございます

回答No.5

noname#119424

皆さんは三角方程式を利用しているので僕は別のやり方を記す
y=kx(kが変数)とおいて、
x^2-y^2＋xy=x^2(-k^2＋k＋1)
で条件2x^2+3y^2＝1より2x^2+3(kx)^2＝1 即ちx^2=1/(3k^2＋2)

よってx^2-y^2＋xy=(-k^2＋k＋1)/(3k^2＋2)
またkのとりうる値は実数全体である
(実際に楕円2x^2+3y^2＝1とy=kxとの交点をグラフから考えれば分かる)
したがって
f(k)=(-k^2＋k＋1)/(3k^2＋2)としてf(k)の極大値を求めるなりしてやればf(k)の最大値が分かって
それが答え
(計算は省略。あくまでここでは別の方法を示した)

お礼

この問題にはたくさんのやり方があるんですね
ありがとうございます！

回答No.4

mister_moonlight

我ながら、愚かだね。。。。。ｗ
座標なんか持ち出す必要はないね、三角方程式に持ち込めば　それで終わり。

x＝r*cosθ、y＝r*sinθ、0≦θ＜2πとする。
2x^2+3y^2＝1　に代入すると、r＾2＝1/(2＋sin＾2θ)＝2/(5-cos2θ)
x^2-y^2＋xy＝kとすると、x＝r*cosθ、y＝r*sinθより(途中の計算は省略)、k＝(2cos2θ＋sin2θ)/(5-cos2θ)　‥‥(1)となる。

と、ここまでは良い。問題は、それから後。

(1)の分母≠0から、払うと、(k＋2)cos2θ＋sin2θ＝5k　となる。
√((k＾2＋4k＋5)*sin(2θ＋α)＝5k　であるから、この方程式が実数解を持つ事より、｜sin(2θ＋α)｜≦1であると良い。
従って、｜5k｜≦√((k＾2＋4k＋5)　であるから、2乗すると、(1-√13)/2≦k≦(1＋√13)/2。

この解法は、先の解法と見かけが違うだけで、本質的には同じなんだが。。。。

お礼

三角方程式にもちこむほうほうもあるんですね
勉強になりました
ありがとうございます！

回答No.3

mister_moonlight

まぁ、三角関数に転化する方法が常識的ではあるが、“何とかの一つ覚え”のようなので別解を書いておく。
極座標から座標に転化するという手がある、思いつけないだろうが。。。。。ｗ

x＝r*cosθ、y＝r*sinθ、0≦θ＜2πとする。
2x^2+3y^2＝1　に代入すると、r＾2＝1/(2＋sin＾2θ)＝2/(5-cos2θ)

x^2-y^2＋xy＝kとすると、k＝(2cos2θ＋sin2θ)/(5-cos2θ)　‥‥(1)　となる。
ここで、cos2θ＝a、sin2θ＝b とすると、a＾2＋b＾2＝1　‥‥(2).
又、(1)は　(2a＋b)＋k(a-5)＝0　‥‥(3)　と変形できるが、これは、2a＋b＝0とa-5＝0との交点を通る直線束を表している。
よって、直線：(2+k)a＋b-5k＝0　が円：(2)と交点を持つと良いから、円の中心である原点(0、0)と直線(3)との距離が、円の半径である1以下であると良い。
従って、点と直線との距離の公式から、｜5k｜/√(k＾2＋4k＋5)≦1　。
分母を払って、2乗すると、24k＾2-4k-5≦0　となるから、(1-√13)/2≦k≦(1＋√13)/2。
最大値は　(1＋√13)/2　、最小値は、(1-√13)/2。

お礼

そんな別解があったなんてしりませんでした＞＜
ありがとうございます

回答No.2

alice_44

三角関数の基本通りに…

(x√2)^2 + (y√3)^2 = 1 を満たす (x,y) は、
x = (1/√2)cosθ,
y = (1/√3)sinθ と表すことができる。

これを代入して、
x^2 - y^2 + xy = (1/2)(cosθ)^2 - (1/3)(sinθ)^2 + (1/√6)(cosθ)(sinθ)
= (1/2){1 + cos(2θ)}/2 - (1/3){1 - cos(2θ)}/2 + (1/2√6)sin(2θ)
= (1/12) + (5/12)cos(2θ) + (1/2√6)sin(2θ)
= (1/12) + R sin(2θ - δ).
ただし、
R = √{ (5/12)^2 + (1/2√6)^2 } = √( 25/144 + 1/24 ) = (√31)/12.
tanδ = (5/12) / (1/2√6) = 5/√6.

(1/12) + R sin(2θ - δ) の最大値は、解ると思う。

# ドウカ計算ガ合ッテイマスヨウニ(祈

お礼

(x√2)^2 + (y√3)^2 = 1 はすごい考えですね！
詳しい説明ありがとうございます！