実数x,yが x²－2xy＋2y²＝8 を満たすと

質問

実数x,yが x²－2xy＋2y²＝8 を満たすとき、
x＋yの最大値、最小値を求めよ。

できたら今日中だと嬉しいです！
よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

deshabari-haijo · ベストアンサー

x+y=kとおくと、y=k-x－(1)
これを与式に代入して整理すると、
5x^2-6kx+2k^2-8=0－(2)
(2)は実数解をもつから、(2)の判別式をDとすると、
D/4=9k^2-5(2k^2-8)=-k^2+40≧0
これから、(k+2√10)(k-2√10)≦0
よって、-2√10≦k≦2√10
つまり、-2√10≦x+y≦2√10
以上から、x+yの最大値は2√10、最小値は-2√10

回答No.4

staratras

発想を変えた別解です。
x^2-2xy+2y^2=8は（x-y)^2+y^2=8 と変形できる。
X=x-y、Y=y とおくと、x+y=x+2Y だから、この問題は
X^2+Y^2=(2√2)^2 …（１） のとき、
x+2Yの最大値・最小値を求めることに帰着する。

x+2Y=k とおくとx+2Y-k=0 …（２）

グラフから最大値を与えるのは直線(2)が(1)の円の上側で接するとき
最小値を与えるのは直線(2)が(1)の円の下側で接するときとなる。
いずれも(2)上の接点で(1)の円の中心(原点)からの距離が2√2だから
｜k｜/√(1^2+2^2)=2√2
｜k｜=2√2・√5=2√10
∴k=±2√10
x+yの最大値は2√10　（このときx=(6/5)√10、y=(4/5)√10）
最小値は-2√10　（このときx=-(6/5)√10、y=-(4/5)√10）

なお、x^2-2xy+2y^2=8　そのもののグラフは青の点線の楕円で、これとx+y=kの交点を考えても求められますが、計算がやや面倒です。

回答No.3

deshabari-haijo

別解(1)
式の変形は、こちらの方が多少は簡単です。

与式を変形して、(x+y)^2-4xy+y^2-8=0－(1)
x+y=kとおくと、
k^2-4(k-y)y+y^2-8=0
5y^2-4ky+k^2-8=0－(2)
これが実数解をもつから、この判別式をDとすると、
D/4=4k^2-5(k^2-8)=-k^2+40≧0
これから、(k+2√10)(k-2√10)≦0
よって、-2√10≦k≦2√10
つまり、-2√10≦x+y≦2√10
以上から、x+yの最大値は2√10、最小値は-2√10

・k=2√10のとき
式(2)は、5y^2-(8√10)y+32=0－(3)
これが重解をもつのであるから、解の公式から（√の中は0であり）y=4√10/5
よって、x=2√10-4√10/5=6√10/5

・k=-2√10のとき
式(2)は、5y^2+(8√10)y+32=0－(4)
上と同様に、これが重解をもつのであるから、解の公式から（√の中は0であり）y=-4√10/5
よって、x=-2√10+4√10/5=-6√10/5

別解(2)
x+y=kとおくと、ANo.2から、
5x^2-6kx+2k^2-8=0－(1)
これから、kが最大または最小のとき、重解x=3k/5
また、別解(1)から、
5y^2-4ky+k^2-8=0－(2)
これから、kが最大または最小のとき、重解y=2k/5
これらの重解を別解(1)の式(1)に代入すると、
(3k/5+2k/5))^2-4×3k/5×2k/5+(2k/5)^2-8=0
k^2=40→k=±2√10
よって、x+yの最大値は2√10
このとき、x=3/5×2√10=6√10/5、y=2/5×2√10=4√10/5
また、x+yの最小値は-2√10
このとき、x=3/5×(-2√10)=-6√10/5、y=2/5×(-2√10)=-4√10/5

回答No.1

info33

x^2-2xy+2y^2=8 ... (1)
x+y=k ... (2) とおくと y=k-x .. (3)
(3)を (1)に代入して
x^2-2x(k-x)+2(k-x)^2-8=0
5x^2-6kx+2k^2-8=0
実数xが存在する条件から2次方程式の 判別式
D/4=9k^2-10(k^2-4)=40-k^2≧0, 40≧k^2 ∴ -2√10≦k≦2√10
k=x+yの最大値=2√10
このとき, 5x^2-6*2√10 x+2*40-8=5x^2-12√10 x+72=5(x-6√10/5)^2=0,
x=6√10 / 5, y=4√10 / 5.

k=x+yの最小値= -2√10
このとき, 5x^2+6*2√10 x+2*40-8=5x^2+12√10 x+72=5(x+6√10/5)^2=0,
x= -6√10 / 5, y= -4√10 / 5.

Ans. x＋yの最大値= 2√10、最小値= -2√10