lim x→+0 (1/x)log(1-x)

質問

答えは0らしいのですが、
log(1-x)=-(x+x^2/2…)なので、
(1/x)log(1-x)=-(1+x/2…)となるから、-1と算出してしまいました。
何が間違っているのでしょうか？

回答No.1

orangeapple55 · ベストアンサー

ロピタルの定理を使ったら、
lim{x→0}(1/x)log(1-x) = lim{x→0}(-1/(1-x))
なので-1であってるんじゃないかと思います。

あんまり自信ないけど(笑)

お礼

回答ありがとうございます。
　無限の解釈が、１８世紀並なもので、間違いがわからないんですよね。ζ(2)の近似値を、オイラーが求めた式の中で使われるんですが、私には、０にならないんですよね。

回答No.5

toranekosan222

一切展開式は使わないで自然対数の定義から導けましたが。

y(x)=(1/x)log(1+x)=log{(1+x)^(1/x)}
y(x)=log{(1+x)^(1/x)}

exp(y)=(1+x)^(1/x)

lim x→0 exp(y) =lim x→0 (1+x)^(x)=e (自然対数の定義）
lim x→0 y(x)=1

f(x)=(1/x)log(1-x)=log{(1-x)^(1/x)}
exp(f)=(1-x)^(1/x)=(1+z)^(-1/z) ,z=-x

lim x→0 exp(-f) =lim z→0 (1+z)^(1/z)=e (自然対数の定義）
lim x→0 f(x)=lim x→0 (1/x)log(1-x)=-1

参考URL：

http://www.daieidream.co.jp/html/science/e.htm

お礼

回答ありがとうございました。
　－１で正解のようですね。本に、０とあったのは、誤植かなにかかと思います。０でも－１でもその後の証明には、影響ないんですけどね。
　誤植の多い本なんですけど、私の無限の解釈は、厳密性を欠いていますので、自信を持てなかったんですよね。しかし、どうにも、納得できなかったので、皆さんに、お尋ねした次第です。

回答No.4

endlessriver

0<|x|<1で展開式は成立していますので大丈夫だと思います。
x=0の値を求めている訳でない。
また、(1/x)log(1-x)をマクローリン展開している訳ではありません。

お礼

回答ありがとうございます。
　解法の正否はともかく、皆さんの回答を見るに、-1であっているんですかね？そうすると、私の本が誤っているんですかね。確かに、いくつか、誤植を見つけてはいるんですよね。

回答No.3

whitedingo

そのやり方はできないと思います。
なぜならば、F(x)=(1/x)log(1-x)においてｘ＝０のときが定義されておらずｘ＝０上ではF(x)は不連続で、微分不可能です。だからこの関数はｘ＝０でテイラー展開すなわちマクローリン展開はできないと思います。なんで(1/x)log(1-x)=-(1+x/2…)はｘ＝０では成り立たないと思います。

なので普通にlog(1-x)は（ｘ→＋０）のとき０に収束する。1/xは（ｘ→＋０）のとき＋∞となるので
lim x→+0 (1/x)log(1-x)=＋∞
と考えればいいと思います。

まあ、どうしようもないときはロピタルそのほかの定理とか使えばいいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
　しかし、定義できないといっていたら、例えば、lim(x→0)sinx/xも値が求められなくなってしまいませんか？自分自身、無限の解釈がきちんとできておりませんので、自信はありませんが、whitedingo様の回答は、納得できません。

回答No.2

wanko05200

質問者さんの解放（マクローリン展開？）はとても私には評価出来ません。

他の方と同様。ロピタルの定理を使って答えはー１ですよね？

お礼

回答ありがとうございます。
　「評価はできない」とは、間違いがあるということでしょうか？解法に間違いがあるなら、ご指摘をお願いします。