y=log(x)(1≦x≦a)の曲線の長さを求める

質問

y=log(x)(1≦x≦a)の曲線の長さを求める計算はどうなりますか？
∮(x^2+a)^(1/2)dx=(1/2)(x(x^2+a)^(1/2)+a*log|x+(x^2+a)^(1/2)|)を使うのかなとは思いますが、計算がうまくいきません。ちなみに答えは(a^2+1)^(1/2)-√2+log((a^2+1)^(1/2)-1)-log(√2-1)-log(a)です。

回答No.2

178-tall

>なぜx^2+1 = t^2が2xdx = 2tdt になるのでしょうか？

　x^2+1 = t^2
　　　↓ 参考 URL / 定積分の置換積分
両辺を t で微分、
　2x*(dx/dt) = 2t
より。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/trans_integral2.htm

回答No.1

178-tall

y=LN(x) (1≦x≦a) の曲線長は、
　　a
　∫ √{1+(1/x)^2} dx
　　1

　∫ √{1+(1/x)^2} dx
に変換 x^2+1 = t^2 を施せば、2xdx = 2tdt が成立ち、
　∫√{1+(1/x)^2} dx = ∫(t/x)^2 dx = ∫t^2/(t^2-1) dt = ∫{1 + 1/(t^2-1)} dt
　= ∫{1 + (1/2)*{ 1/(t-1) - 1/(t+1) } dt
を得る。

(原始関数は　t と LN(t-1)、LN(t+1) の一次結合。あとは割愛 … )

補足

なぜx^2+1 = t^2が2xdx = 2tdt になるのでしょうか？