不定積分＜∫ {x/(1+x~2)} * log(1+x~2) dx＞の途中から、お願いします！！

質問

この問題は青チャートに載っているものです。
下の表記なのですが、x~2 は xの2乗、*はかける、を示しています。ちょっと見にくいのですが、お願いします。

∫ {x/(1+x~2)} * log(1+x~2) dx

= ∫ (1/2) * {(1+x~2)'/(1+x~2)} * log(1+x~2) dx

= (1/2)∫ {log (1+x~2)}' * log(1+x~2) dx

ここまで自力でやり、解答と同じ結果になったのですが、解答ではその後すぐに、↓のように最終的な答えを出しています。
ここからどう考えると、↓のような解に辿り着くのか、よろしくお願いします！！

= (1/4) ∫ {log(1+x~2)}~2 + C

回答No.3

masudaya · ベストアンサー

ではもう少し,
(f(x)^2)'=2*f'(x)*f(x)

両辺を積分すると

f(x)＾2=2*∫f'(x)*f(x) dx

∴∫f'(x)*f(x) dx=(1/2)*(f(x))＾2

このf(x)にlog(1+x＾2)を代入すると・・・

後はご自身で・・・・

お礼

どうも有り難う御座いました！！

ご教示がヒントとなって、やっと納得がいったように思います。

f'(dash)(x)について考えずに、f(x)についてだけ、大きく積分してゆけば、結局解に至る、と分かりました。

基本とはいえるのですが、これで勉強になりました。

回答No.2

masudaya

こう考えると分かるかな？

(f(x)^2)'=(f(x)*f(x))'
=f'(x)*f(x)+f(x)*f'(x)=2*f'(x)*f(x)

このf(x)にlog(1+x^2)をあてはめると・・・・

以降はご自分で計算してみて下さい.

お礼

どうもありがとう御座います！！

No.1の方の所にも書いたのですが、質問の最後のところでミスがありました。申し訳ありません。

本当は、解を出してから、お礼を言いたかったのですが、実は、未だに解けず、他の問題をやりながらも考えています。

考えつづけます。

回答No.1

noname#20378

{log (1+x~2)}'={(1+x~2)'/(1+x~2)}の理由は理解できているんですよね？
ってことは
{(1/2) {log(1+x~2)}~2}' = {log (1+x~2)}' * log(1+x~2)
がわかると思うんですが？

お礼

どうもありがとう御座います！！

チャートのここの単元の他の計算問題は既に出来ているのですが、どうしてもこの問題だけが、上の段階から解けていません。

僕はもう少し数学を鍛える必要があります。

補足

有り難う御座います、今考え中です。

質問で書いたところの、最後の行で、次のような間違いがありました。
申し訳ありません。

= (1/4) ∫ {log(1+x~2)}~2 + C

となっているのですが、「∫」は無く、

= (1/4){log(1+x~2)}~2 + C

が正解です！！