∫{log(x+1)}/x^2dx

質問

∫{log(x+1)}/x^2dx

この問題がわかりません。
最後の答えだけはあるのですが過程がなくて…
置換でやろうと思って
t=x+1とか

t=log(x+1)とか

t=x^2とかやってもだめでした…
方針変えてx^2を部分積分使用と思ってもこれもだめでした。
方針だけ（置換だったら何をtと置くか）教えてくれれば後は自分でどうにかしますので
お願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

公式的には部分積分ですが
こういう関数の不定積分はもっと原点に戻るといいのです．

微分して，log(1+x)/x^2 が
「パーツでも何でもいいから，とにかくでてくる関数」
って何か？と考えれば
log(1+x)/x
はすぐにでてくるでしょう？
log(1+x)/x を微分すれば
(1/(x(1+x))) - log(1+x)/x^2
なんだから
不定積分
∫{log(x+1)}/x^2dx
=
-log(1+x)/x - ∫1/(x(x+1)) dx
後半の積分は部分分数展開で終わり

これは実際は「log(1+x)・(1/x^2)」
とみなして部分積分しているのとまったく同じですが
（だから，あなたが「できなかった」というのは
おそらく計算間違いです）
たぶんこの考え方の方が，この手の積分では考えやすいです．

お礼

ご回答ありがとうございます。

一日中考え込んでやっとわかりました。