費用曲線の数学的説明について

質問

初めて投稿致します。最近、経済学を学び始め、しょっぱなからつまずいてしまいました。経済学の本に載っていた文字式で、その本の説明ではよくわからず、困っています。

以下の費用曲線を文字式で表します。
総費用→Ｃ　生産量→Ｘ　総費用関数→Ｃ＝Ｔ(Ｘ)
平均費用→ＡＣ＝Ｔ(Ｘ)／Ｘ
平均費用を書き換えると→Ｔ(Ｘ)＝ＡＣ・Ｘ
限界費用→ＭＣ＝Ｔ'(Ｘ)
と、それぞれの文字式とその式のもっている意味は理解できたのですが、次の式がよくわかりません。

Ｔ(Ｘ)＝ＡＣ・Ｘ
これを微分すると
ＭＣ＝Ｔ'(Ｘ)＝ＡＣ＋(ＡＣ)'・Ｘ
この式は限界費用を求める式であるようなのですが‥
なぜこの式がそのように微分されるのか、微分された式がどのような意味をもっているのかよくわかりません。
この式についてご存知で説明くださる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

回答No.1

kk0987 · ベストアンサー

うまく説明できる自信がありませんが、答えます。

まず『なぜこの式がそのように微分されるのか』
について。
T(X)=AC*X
を微分すると、
T'(X)=(AC*X)'
=(AC)'*X+AC*(X)'(∵積の微分の公式)
=(AC)'*X+AC*1
=AC+(AC)'*X
積の微分の公式の説明・証明は省きます。

次に『微分された式がどのような意味をもっているのか』について。
MC=T'(X)
T'(X)=AC+(AC)'*X
の二式より、MC=AC+(AC)'*X

限界費用と平均費用が一致する、つまり限界費用曲線と平均費用曲線が交差するところでは、MC=ACが成り立つので、MC=AC+(AC)'*Xの両辺よりそれぞれMCとACを引くと(等式の両辺から同じものを引いてもその等式は成り立ちます)、(AC)'*X=0がいえる。

つまり、(AC)'=0となる点すなわちACが極小となる点で、限界費用曲線と平均費用曲線は交差する、ということを、MC=AC+(AC)'*Xは示しています。

なお、固定費用がゼロの場合には、ACが極小になる点は存在せず、限界費用曲線と平均費用曲線は原点で交差します。

お礼

回答ありがとうございます。
積の微分の公式だったんですね‥
なんでＭＣ＝Ｔ'(Ｘ)＝ＡＣ＋(ＡＣ)'・Ｘが導き出されるのかずっとわからず引っかかったままだったので本当にすっきりしました。
あと、『微分された式がどのような意味をもっているか』についても非常にわかりやすく理解することができました。ありがとうございます。ですがもっと単純な所で式の成り立ち自体がわかっていないのです‥

ＭＣ(限界費用)とＡＣ＋(ＡＣ)'・Ｘは同じ、等式ということですがＡＣは平均費用、(ＡＣ)'は平均費用の微分、Ｘは生産量、このことから
限界費用＝平均費用＋平均費用の微分×生産量
になると思います。

で、わかっていないことというと、平均費用に平均費用の微分×生産量を足すとなんで限界費用になるのか、ということなのです。この点についても詳しく教えて頂ければと思います。よろしくお願いします。

補足

時間がかかりましたが、図式化することによって
限界費用＝平均費用＋平均費用の微分×生産量
の意味をどうにか理解することができました。
他の質問への答え、わかり易い説明も含め、本当に参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

arx9

Ｔ(Ｘ)＝ＡＣ・Ｘを微分するとき
ＡＣもＸの関数なので微分する必要があります。
限界費用は１単位生産を増やした時の費用の増加分です。
まず式よりも実際に図を描いてそれぞれの関係を説明できることが重要だと思います。

お礼

初めての投稿だったものですから、回答が頂けるか不安でした。ありがとうございました。