経済数学の問題で

質問

次の定理について証明したいのですがまるでわかりません・・・。
回答お願いいたします。

定理
関数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）が区間Iで微分可能ならば、1次結合af(x)＋bg(x)(a,bは実数）と積f(x)g(x)も区間Iで微分可能で、
（１）｛af(x)＋bg(x)｝'=af '(x)＋bg '(x)
（２）｛f(x)g(x)｝'=f '(x)g(x)＋f(x)＋g '(x)
が成り立つ。

こちらもよかったら教えていただきたいです。
次の結果を微分の性質から導きなさい。

結果
ある企業の生産量をx(>0)、総生産費用をC(x)とし、その平均総費用をAC(x)=C(x)/x、限界費用をMC(x)=C'(x)とするとき、
「MC(x)>AC(x)ならばAC'(x)>0」

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.3

ast0718 · ベストアンサー

微分の線形性の証明が教科書的にこれでよかったかは覚えていませんが
これが一番いい説明になるのではないかというものを提示します。

ｆ（ｘ）は微分可能なので
lim[Δx→0]{f(x+Δx)-f(x)}/Δx=f'(x)に収束する。(微分の定義ですね)
g(x)も同様に収束します。
微分の定義に立ち返れば
｛af(x)＋bg(x)｝'=lim[Δx→0]{af(x+Δx)+bg(x+Δx)-f(x)-g(x)}/Δx
=lim[Δx→0]{a{f(x+Δx)-f(x)}/Δx+b{g(x+Δx)-g(x)}/Δx}=af '(x)＋bg '(x) 当たり前ですね
｛f(x)g(x)｝'　=lim[Δx→0]{f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)}/Δx 次がテクニカルです
=lim[Δx→0]{f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x)}/Δx　　　　同じものを引いて足しても0なので等しい
= lim[Δx→0]{{f(x+Δx)-f(x)}g(x+Δx)+f(x){g(x+Δx)-g(x)}}/Δx　
lim[Δx→0]{{g(x+Δx)*{f(x+Δx)-f(x)}/Δx+ f(x)*{g(x+Δx)-g(x)}}/Δx=g(x)f '(x)＋f(x)g'(x)
(2)の式は書き間違えています。

AC(x)=C(x)/xは割り算の微分を使えば楽ですが
今回はおそらく上で証明する積の微分法を用いて解くことを期待されていますね。
xをかけて
x*AC(x)=C(x)　
積の微分利用　{x*AC(x)}'=(x)'AC(x)+x*AC'(x)
1*AC(x)+x*AC'(x)=C'(x)=MC(x)
x*AC'(x)=MC(x)-AC(x)
x>0より
AC'(x)={MC(x)-AC(x)}/x これはもしMC>ACなら正の値をとりますね

お礼

詳しく書いてくださりありがとうございました！
精進します・・・。

回答No.2

statecollege

>そうですね。
アドバイスありがとうございます

といいながら、相変わらず「経済学」のカテに質問が残っていますね！数学は知っているけれど、経済学は知らない人のためには
　　　f(x) = C(x)
　　　g(x) = AC(x) = f(x)/x

と置き換え、あなたの質問を「

　　g(x)=f(x)/xのとき　　

　　f'(x) > g(x)ならば、g'(x) > 0

を示せ」(「　」内の部分だけでよい）という問題をどう解いたらよいのでしょうか、と質問すればよいのです。こんな簡単な問題が解けないようでは、今後経済学の勉強をつづけるのはたいへんですから、急いで高校の教科書数IIを復習することからはじめたほうがよいのではないでしょうか！これが私のアドバイス。

回答No.1

statecollege

高校生でも解ける簡単な微分の問題だから、「数学」のカテゴリーへ提出したらいかが？数学には回答者がたくさん手ぐすねひいて待っていますから、すぐ回答がつきますよ。

お礼

そうですね。
アドバイスありがとうございます。