数学の問題の解き方を教えてください

質問

かなり初歩の問題になってしまいますが、「ｔ＞０のとき、次の微分方程式を解け」というもので

x`=x+t/x-t の解き方がよくわかりません。ちなみに答えは、Ｃを任意定数として、ｘ＝ｔ±√(２ｔ＾２＋Ｃ)
です。

よろしくお願いします。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

x-t=yとおくとx=y+t、dx/dt=dy/dt+1
よって与式は
dx/dt=dy/dt+1=(y+2t)/y=1+2t/y
すなわちdy/dt=2t/y
ydy=2tdt
y^2/2=t^2+C(積分定数)
y^2=2t^2+2C
y^2=(x-t)^2=2t^2+2C
x-t=±√(2t^2+2C)
x=t±√(2t^2+2C)
2CをCと書き直して
x=t±√(2t^2+C)

補足

わかりやすい説明ありがとうございます。非常に図々しいのですが、変数分離形を用いた別の解き方も知りたいのですが、お願いできないでしょうか。可能であれば、よろしくお願いします。ちなみに自分でも解こうとして、最初に右辺の分母分子をｔで割って、u=x/t　とおいて、その後　u`=u+1/u-1 として計算しようとし、 u`=1/t×[ｆ(u)-u]　を利用して解こうとしたのですが、うまくいきませんでした。これに近いやり方で解けるやり方がありましたらできればそちらのほうを先に教えていただければ非常に助かります。

回答No.5

Tacosan

「最初に右辺の分母分子をｔで割って、u=x/t　とおいて、その後　u`=u+1/u-1 として計算しようとし、 u`=1/t×[ｆ(u)-u]　を利用して解こうとした」の部分, (日本語はめちゃくちゃだけどそこはとりあえず目をつむることにして) どのように進めていってどこで止まったのですか?

ああ, ちゃんと括弧はつけようよ.

回答No.3

stomachman

y=x-t

回答No.2

Tacosan

x を t で割ってみるといいかもよ.

回答No.1

spring135

分子分母はどこまでですか。

補足

分子がｘ＋ｔ　分母がｘ－ｔ　です。わかりづらくてすみません。