代数学 群の問題

質問

Ｇをアーベル群、eをＧの単位元、ｋを整数とする。
（１）H={g＾k｜g∈G}はＧの部分群であること
（２）N={g∈G｜g＾k=e}はＧの正規部分群であること
（３）剰余群Ｇ/ＮはＨと同型であること

上記３つを示したいのですが、お力を貸してください。どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

psuedoase · ベストアンサー

１)
部分群であると示すには、
簡単に言えば、まずその集合の元のオペレーションがその集合の中に閉じていなければなりません。
それと、単位元と逆元がその集合の中に存在している、この三つを示せばいいのです。
つまり
a,b∈H, a*b∈H
a,a^-1 ∈H, e∈H
ですね。

２)正規部分群であると言うのは、剰余類　gH=Hg ∀g∈G
ということです。
ただ、アーベル群を前提としての話ですので、普通にNが部分群であればそれは正規部分群としていいと思います。

３)
これは一目瞭然です。　写像f:G->G/N
でNはker(f)です。

お礼

どうもありがとうございました。解決しました。

補足

(3)なのですが、 f が群の準同型であるとの示し方を教えてください。
そのとき Ker(f) と Im(f) は何になりますか？

回答No.1

kabaokaba

なにがわからないの？
(1)(2)は教科書なり講義ノートなりに書いてある
定義を素直に適用すれば解決

(3)については「自然な写像」を考えればいいんでないの？
すなわち
[g] ∈ G/N に対して g^k ∈ H を対応させる
これがwell-definedであり
群の順同型であり
さらに，逆写像が存在しそれが群の順同型になることを示せばいい

質問を連発する前に
自分で考えること

お礼

すみません本当に何も分かっていなくて、どうもありがとうございました。