代数学の問題です。

質問

ものすごく考えてもなかなか出来なくて
困っています。

Gを群とし、H、KをGの部分群とする。
H　または　K　がGの部分群となるためには、
HがKに含まれる　または　KがHに含まれることが
必要十分条件であることを示せ。

H　または　K　が部分群とならない例をあげよ。

出来たらくわしく教えてほしいです。
お願いします。

回答No.4

FT56F001 · ベストアンサー

> (H　∪　K)　がGの部分群となるためには、
> H⊂K　または　K⊂Hが
> 必要十分条件であることを示せ。
まず，十分条件であることを示す。
H⊂Kならば(H　∪　K)=Kなので，Kは部分群であるから(H　∪　K)は部分群である。
K⊂Hならば(H　∪　K)=Hなので，Hは部分群であるから(H　∪　K)は部分群である。

次に必要条件であることを示す。
逆に，(H　∪　K)が部分群だとし，
H⊂Kでなく，かつ　K⊂Hでないとする。
差集合H-K，K-Hはともに空集合ではないので，それらの要素
x∈Hかつ(x∈Kでない)x
y∈Kかつ(y∈Hでない)y
をとり，その積z=x*yを作る。
(H　∪　K)は部分群なので，zは(H　∪　K)の要素であり，
HかKの少なくともどちらかの要素である。

zがHの要素だとする。Hは部分群なのでx^-1を含む。
y=x^-1*zは，Hの要素同士の掛け算なので，Hの元のはずである。
これは「y∈Kかつ(y∈Hでない)y」に反する。
同様に，
zがKの要素だとする。Kは部分群なのでy^-1を含む。
x=z*y^-1は，Kの要素同士の掛け算なので，Kの元のはずである。
これは「x∈Hかつ(x∈Kでない)x」に反する。

よって，「H⊂Kではなく，かつ　K⊂Hでない」は成立せず，
「H⊂Kであるか，または　K⊂Hである」が成立する。

回答No.3

FT56F001

> (H　∪　K)　が部分群とならない例をあげよ。
#1の設定でH∪K={1,2,4,6}ですが，
2*6=5
4*6=3
となってはみ出してしまい，部分群にはならないです。

回答No.2

FT56F001

>H　または　K　がGの部分群となるためには、
「H　∪　K　がGの部分群となるためには、」
の意味ですね。
(HがGの部分群)かつ(KがGの部分群)と誤解しました。
#1は無視してください。

回答No.1

FT56F001

>Gを群とし、H、KをGの部分群とする。
>H　または　K　がGの部分群となるためには、
>HがKに含まれる　または　KがHに含まれることが
>必要十分条件であることを示せ。
ホントかな?
G={1,2,3,4,5,6}
H={1,6}
K={1,2,4}
として，積は掛けて7で割った余りをとる定義にします。
(mod 7の剰余群と言う呼び方でしたっけ)
HもKもGの部分群になっていて，かつ
>HがKに含まれる　または　KがHに含まれる
は成立していないのだけど。

群論，学部の頃に少し勉強したものの，以降30年ブランクなので，
違っていたらごめんなさい。