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１次独立と１次従属の問題について
問． １ １ ａ ａ1＝(１) ａ２＝(ａ) ａ３＝(１) ａ 、 １ 、 １ とするとき、1次独立、1次従属であるときのａの値を求めよ。 という問題がありまして、先生の解答は、 解) ｃ1ａ1+ｃ2ａ2+ｃ3ａ3＝０のとき １ １ ａ ｃ1(１)＋ｃ２(ａ)＋ｃ３(１)＝０ ａ １ １ ｃ1+ｃ2+aｃ3 ０ （ｃ1+aｃ2+ｃ3)＝(０) aｃ1+ｃ2+ｃ3 ０ １１ａ ０ （１ａ１)＝(０) ａ１１ ０ ｃ1 （ｃ2)＝０となるためには ｃ3 １１ａ （１ａ１)＝Ａ とすると ａ１１ Ａ^-1が存在しなければならない Ａ^-1が存在するのでＡは正則 従って|Ａ|≠０ |Ａ|＝(ａ+ａ+ａ)－(ａ^3+１+１) ＝-(ａ-１)^2(ａ+２) |Ａ|≠０よりａ≠１、－２のとき ａ1、ａ2、ａ3は1次独立 ａ＝１、－２のときａ1、ａ2、ａ3は1次従属// なのですが、何かおかしいなと思いまして(^^;) 個人的な意見としては、 １１ａ ｃ1 ０ （１ａ１)(ｃ2)＝(０) －(1) より ａ１１ ｃ3 ｃ1 （ｃ2)＝Ｂ とすると ｃ3 (1)を満たすには ｃ1 ⅰ)ＡとＢが正則で(ｃ2)＝０ ｃ3 ⅱ)Ａが零因子である→|Ａ|＝０ になればよいわけで、 なのにどうして「“Ａ^-1が存在するので”Ａは正則 従って|Ａ|≠０」と言えるのか…Ａ^-1が存在することを示すためには|Ａ|≠０を示す→だからＡは正則という形にしなければならないと思うのですが…。あと、何故ａ≠１、－２のときａ1、ａ2、ａ3は1次独立 ａ＝１、－２のときａ1、ａ2、ａ3は1次従属になるのかも良く分かりません。教科書と参考書を何回も見たのですがさっぱりです。無知ですみませんm(__)m基本的な質問で申し訳ありませんが答えて下さると嬉しいです。よろしくお願いします。
- albalove0310
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文中に １１ａ ０ （１ａ１)＝(０) ａ１１ ０ とありますが、 １１ａ ｃ1 ０ （１ａ１)(ｃ2)＝(０) ａ１１ ｃ3 ０ ではないでしょうか？Bが正則というのも、列ベクトルに対してはここではおかしいのではないでしょうか。 これをAB=0と書くならば、 １１ａ ｃ1 ０ （１ａ１)(ｃ2)＝(０) ａ１１ ｃ3 ０ をAB=0と書くならば、A^-1が存在すれば A^(-1)AB=B=0 で、1次独立です。(Bが一意に0と決まるからです。) A^-1が存在する⇔Aは正則⇔|Ａ|≠０ (これは本に証明されていると思います) これが成り立つには、ａ≠１、－２です。 では、1次独立⇒A^-1が存在する が言えるかというと、 A^-1が存在しない⇒B=0以外のBが存在する(一次従属) をdimAで考えてみると、Aの次元が2以下なので、Bに0で無い列があってもよい、と考えられます。これは少し考えてみて下さい。 まあ基礎が身についていれば自明だと思いますが。急ぎなので間違いはあるかもしれませんが考えて解釈して下さい。
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すいません。わかりづらいので、（一部間違いも発見！改訂 見にくいので印象で答えを書きます。 Ａ^-1が存在するので”Ａは正則 従って|Ａ|≠０ の対偶 |Ａ|＝０ ならば、正則ではない。をいう。 これは 正則と列ベクトルは１次独立が同値なので、 |Ａ|＝０ ならば、列ベクトルは１次独立ではない と同じこと。 これは正しい。 まとめ 正則 |Ａ|≠０ Ａ^-1 の存在 ランクがｎ（ｎ行列の時） 列（行）ベクトルは独立 この５つは、同値 後半は勘弁してください。
お礼
なるほど…分かりやすくまとめてくださりありがとうございました!!
見にくいので印象で答えを書きます。 Ａ^-1が存在するので”Ａは正則 従って|Ａ|≠０ の対偶 |Ａ|＝０ ならば、正則ではない。 これは 正則と列ベクトルは１次独立が同値なので、 |Ａ|＝０ ならば、列ベクトルは１次独立 |Ａ|≠０ と Ａ^-1 の存在 は同値です。 後半は勘弁してください。
お礼
なるほど…そうなんですか。『正則と列ベクトルは１次独立が同値』ということが良く分かっていませんでした。ありがとうございました。
- kony0
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少なくとも後者は|A| = 3a-a^3-2 = - (a-1)^2 * (a+2)でしょう・・・
お礼
分かりやすい説明ありがとうございます。 １１ａ ０ （１ａ１)＝(０) ａ１１ ０ は先生がそう板書されていたので写しただけなのですが…やはり先生が間違っていたのでしょうかね？多分…。dimAは、次元についてはまだ良く分からない状態なのでちゃんと勉強してみます。ありがとうございました。