線形代数の一次従属、独立に関する問題

質問

以下のような問題なのですが、一次従属と一次独立に関してはなんとなくわかったのですが、垂直ベクトルがからんだ場合の解き方が全く浮かびません。かなり低レベルな質問なのかもしれませんが、困ってます。よろしくお願いします。（数式記号が出せないのと英語の問題を自分なりに翻訳したので読みにくいかもしれませんがよろしくお願いします。）
【問題】
(1)
R3中のa,b,cというベクトル全てが０以外でかつ、a垂直ベクトル記号b,b垂直ベクトル記号c、a垂直ベクトル記号cの場合、a,b,cが一次独立であることを証明せよ。
(2)Rm中のベクトルa1...an全てが０以外でかつai垂直ベクトル記号aj でiとjが異なる時、a1...anが一次独立であることを証明せよ。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

問題自体は、背理法で証明できると思います。

たとえば、５次元で、ベクトルa,b,c,d,eがすべて0でなく、どの２つも互いに垂直である場合に、「a,b,c,d,eが一次独立でない」すなわち、あるスカラーP,Q,R,Sが存在して
e=Pa+Qb+Rc+Sd
となる、と仮定します。

互いに垂直という仮定から、内積は0、つまり
a・e=0, b・e=0, c・e=0, d・e=0
よって、(Pa+Qb+Rc+Sd)・e=0
すなわち、e・e=0
これは、eが0でないという仮定に反します。

あとは考えてください。
定義とか使っていい定理とかの限定はあるのでしょうか？

お礼

どうもありがとうございます！！！
定義や定理等の指定は特にはありませんでした。
なるほど、なんとなくわかった気がします。
ちょっとこの考え方を使ってやってみます。

回答No.2

yoo_20052005

下のかたは背理法での証明を書いておられますので、私はあえて別の方法で。

（１）はR^3内の互いに直交しているベクトルが一時独立を示す訳ですよね。直交を言う条件を活用するには何を使えばいいでしょう？そうなると、直交するベクトルの内積は0ということを何らかの形で使うはずでしょう。

ここで,
xa + yb + zc = 0 (x, y, z は実数)と置きます。
a,b,cが一次独立を示す為には　x=y-z=0を示せばいいわけです。
ここでこの式とaとの内積を取りましょう。
すると
x<a,a>+y<a,b>+z<a,c>=0
ここでa,b,cは直交という条件より<a,b>=<a,c>=0,<a,a>=1ですよね。これよりx=0がでます。また同様にしてb,cとの内積を取るとy=z=0がでます。よってa,b,cは一次独立です。

（1）ができれば（2）は出来るでしょう。

お礼

どうもありがとうございます！！！
こういうやり方もあるのですね。
このやり方も使ってやってみます。