線形代数の問題です。次のベクトルが一次従属か一次独立か。

質問

(1) ( 0) (-1)
a=(0) c=( 1) d=( 0)
(1) (-1) ( 1)
拡大係数行列にして、行基本変形をしたら

(1 0 0 0)
(0 1 0 0)
(0 0 1 0)
となり一次独立。
これはわかりました。

(1) (2)
a=(0) b=(1)
(1) (1)
この問題をやると

(1 0 1 0)
(0 1 -1 0)
となり、よくわかりません
ちなみにこれは一次独立らしいです。

また

(1) ( 2) ( 0)
a=(0) b=( 1) c=( 1)
(1) (-1) (-1)
この問題をやると

(1 0 1 0)
(0 1 -1 0)
(0 0 0 0)

だと一次従属らしいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

Meowth

(1,0,-1)
(0,1,0)
(1,-1, 1)
=2 独立

(1, 2, 0)
(0, 1, 1)
(1, -1, -1)
＝２　独立

ちなみに
(1) ( 2) ( 0)
a=(0) b=( 1) c=( 1)
(1) (1) (-1)

なら従属

回答No.2

abyss-sym

『a,c,d１次独立』⇔『λ1*a+λ2*c+λ3*d=0ならばλ1=λ2=λ3=0』
という条件を使います。
λ1*a+λ2*c+λ3*d=0 とすると,
λ1-λ3=0 , λ2=0 , λ1-λ2+λ3=0
この３つの方程式からλ1=λ2=λ3=0,よってa,c,dは1次独立。

次の問題も同様に,
λ1*a+λ2*b+λ3*c=0
λ1+2*λ2=0 , λ2+λ3=0 , λ1+λ2-λ3=0
このとき例えば,λ1=1,λ2=-1/2,λ3=1/2でも成り立ってしまいます。
したがって,1次従属となります。

他にも,b=c+2aが成り立つことを言って,1次従属であることを証明してもいいです。

補足

a,bとa,b,cのちがいがよくわかりません。
また、(1)a,b(2)a,b,c(3)a,c,d(4)b,c,dという問題なので最初にa,bを求めなくてはならないんです。
一次独立か一次従属かをもとめる方法って拡大係数行列で行基本変形してλがすべて0なら一次独立、そうでないなら一次従属だとおもってたんでよくわからないのですが。

回答No.1

Meowth

３×３の行列式を計算すれば

補足

行列式を計算というのは最後の問題ですか？
行列式の計算の結果でわかるんですか？