行列式の計算問題

質問

行列式に関する下記の二つの問題はそれぞれ独立した問題です。

問1
｜a b c d｜^2
｜-b a -d c｜
｜-c d a -b｜
｜-d -c b a｜ の値をできるだけ因数分解した形で求めよ。

問2
｜a^2+1 ab ac ad｜
｜ba b^2+1 bc bd｜
｜ca cb c^2+1 cd｜
｜da db dc d^2+1｜の値を計算せよ。

ご回答をよろしくお願いします。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

＞(1)はたぶん行列式の性質の一つ
＞det(AB)=det(A)*det(B)
＞を使えってことになってるかもしれません。

たぶんそうでしょうね。

問2は、
１行目にaを掛けて、１列目をaで割る、
２行目にbを掛けて、２列目をbで割る、
３行目にcを掛けて、３列目をcで割る、
４行目にdを掛けて、４列目をdで割る、
という操作をやれば、

｜a^2+1 ab ac ad｜
｜ba b^2+1 bc bd｜
｜ca cb c^2+1 cd｜
｜da db dc d^2+1｜
=
｜a^2+1 a^2 a^2 a^2｜
｜b^2 b^2+1 b^2 b^2｜
｜c^2 c^2 c^2+1 c^2｜
｜d^2 d^2 d^2 d^2+1｜

となります。あとは簡単ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
（2）はまさにおっしゃったとおりですね。

が、（1）はその公式を使うべきだとわかってても解き方がわからないです。
（1）の解法もお教えいただければと思います。

回答No.5

nag0720

問１は、BをAの転置行列として、ABを計算してみてください。

回答No.3

Tacosan

一応補足:

(1) については, 行列式を計算するだけなら #2 でも言われているように「2乗」に特別な意味はありません. 逆に言えば, 「特別な意味がないはずの『2乗』がついている」ところがポイントで, この問題ではそのことをヒントに工夫すると単純な形にできます. #1 の「そういう事情」は, そういう意味を込めています.

(2) もいくつかやり方がある. 固有値と行列式の関係を使うとおもしろいかも.

お礼

ご回答ありがとうございます。
説明不足ですみません。
(1)はたぶん行列式の性質の一つ
det(AB)=det(A)*det(B)
を使えってことになってるかもしれません。

(2)はたぶん行列式の性質を使って何かうまいことをして簡単にできるかもしれません。これは
たくさんある問題の中の一つで他の問題はみんな行列式の性質を使って行列式を簡単にして
解くようになってるので、たぶんこの問題そうではないと思います。

回答No.2

info22_

(1)
地道に行列を展開し、特定の文字について式を整理して因数分解することですね。
行列式の一行目の末尾の「^2」は行列式の二乗のことですか？
（問題としては二乗しても特別な意味はないのだが…）

一応、二乗として、行列式を行または列で展開して因数分解したものを二乗して求めた答えは
　(a^2+b^2+c^2+d^2)^4
となりました。

(2)
これも地道に行列式を行または列で展開して式を整理していくだけで答えが得られます。答えは
　a^2+b^2+c^2+d^2+1
となりました。

お礼

ご回答ありがとうございます。
説明不足ですみません。
(1)はたぶん行列式の性質の一つ
det(AB)=det(A)*det(B)
を使えってことになってるかもしれません。

(2)はたぶん行列式の性質を使って何かうまいことをして簡単にできるかもしれません。これは
たくさんある問題の中の一つで他の問題はみんな行列式の性質を使って行列式を簡単にして
解くようになってるので、たぶんこの問題そうではないと思います。

回答No.1

Tacosan

なるほど, そういう事情で二乗なのか....

ベタに計算してもいいし, とあることに気付けば簡単. いずれにしても自力でやってみるといいだろう.