一次従属 一次独立

質問

ベクトルの一次従属と一次独立についての質問です。
前回、ご回答頂けなかったので改めて質問させて頂きます。

一次従属と一次独立を求めると何の役に立つのでしょうか？
抽象的な質問ですいません。ふと思いました。

一次従属と一次独立を以下に示します（補足があったらお願いします）。
■一次従属
・0ベクトル。
・ベクトルAとベクトルBが平行である。
・二つのベクトルを行列にして、行列式が0であれば一次従属
・階段行列からrankを求めてrankがベクトルの数と等しく無ければ一次従属

■一次独立（一次従属ではない）
・0ベクトルでないベクトル。
・ベクトルAとベクトルBが一次結合で表される（二つのベクトルが平行でない）。
・二つのベクトルの行列式が0である。
・rankがベクトルの数と等しい。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

まあ, 「フーリエ展開との関係」についてはちょっと無理をしてますけどね.
基底に限らず線形代数の他の概念も (表には出てこないにしても) いろんなところにこっそり顔を出すことがあります. 例えば, 固有値や固有ベクトルは数理統計学において主成分分析という形で現れます. また, 量子力学は行列を使って記述でき (行列力学), そこでは無限次元の行列に対し固有値や固有ベクトルを求めるという操作を使います.
言い方を替えると, 「線形な問題であれば, 行列やベクトルで表現することで線形代数の問題ととらえることができる」でしょう.

補足

ご回答ありがとうございます。

大変勉強になりました。
線形代数はちょっと苦手というか面倒くさいと思っていたのですが、
さまざまな分野で利用されているのですね。
認識を改めて勉強し直します。

親切にご回答くださり本当にありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

線形空間 V の基底 { a1, a2, ... } が与えられると, V の任意の要素が基底の線形結合で表されます. で単に「線形結合で表す」だけでは無意味ですが, 特徴的な基底を持ってくることで要素の性質を見ることがあります.
例えば「周期 2π で 2乗可積分な実周期関数」の集合は線形空間をなし, その基底として { 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ... } を取ることができます. したがって, 上の「～」はすべてこれらの基底の線形結合で表すことができ, このような表現をフーリエ展開と呼んだりします. 同様に, 離散フーリエ変換 (DFT) や離散コサイン変換 (DCT) も「線形空間の要素を特定の基底で展開する」操作であると見ることができます.
また, 「線形微分方程式の解の集合」は線形空間であり, そこに規定を取ることができます. 水素原子における電子状態はシュレーディンガー方程式を満たす波動関数で表現され, 1s, 2s, 2p などといった電子軌道はこの微分方程式の解集合の基底です. これらの電子軌道の線形結合はまたシュレーディンガー方程式の解であり, それらのうち特別なものを「混成軌道」と呼びます.

お礼

ご回答ありがとうございます。

私には、ちょっと難しかったです・・・

ベクトルが一次従属・一次独立かを判別することは基底を与えるために必要であり、基底はフーリエ展開やシュレーティンガー方程式などに利用されているという認識で良いでしょうか？

奥が深いです。
シュレーティンガー方程式はよくわかりませんが（シュレーティンガーの猫の説明を事を聞いたことがあるようなないような^^;）・・・
フーリエ展開は、ある関数がどのような周波数成分に分解できるかを求める時に必要だと思っていました。
例えば、フィルタ処理などでlow-passなどとして用いられますよね。
これが、線形代数と結びついているんですね！！驚きました。

基底は次元を知るために必要だと思っていました。
正規直行基底（基本ベクトル）は、直行座標軸などで使われる程度の認識でした。

回答No.1

Tacosan

言葉の意味を確認させてほしいのですが,
「一次従属と一次独立を求める」
とはどのような操作を指しているのでしょうか?
「一次独立」とか「一次従属」というのはベクトルの集合に対する属性ですよね. その属性を「求める」というのが何を意味するのかよくわからんのですが.

補足

ご回答ありがとうございます。

線形代数などの教科書にベクトルAとベクトルBが一次従属かどうかを示しなさい。というような問題があるのですが、ここで一次従属かどうか
を示すことは出来るのですが、この回答が後々にどのように役に立つか知りたいのです。

イメージでは、一次従属・一次独立は線形空間Vの基底を定めるために必要かと思っているのですが、では基底は何の役に立つのでしょうか？