線形代数に関して質問です。

質問

行列Aに関して下の1～5は同じ意味になるのでしょうか？

1：一次独立である
2：正則である
3：det|A|≠0
4：rankA=n（n：未知数の数）
5：自明な解をもつ

同じことかもしれませんが、下記の1~5も同じ意味になるのでしょうか？
1：一次従属である
2：正則でない
3：自明でない解を持つ
4：n-rankA>0
5：det|A|=0

よろしくお願いします。

回答No.2

koko_u_

ま、一応のりかかった舟だし。

定式化するなら n×n 次正方行列 A と n 元ベクトル x について

1. A の各列から成る n 個のベクトルは 1 次独立
2. A は正則(逆行列を持つ)
3. A の行列式は 0 でない
4. A の階数は n
5. Ax = 0 には 自明な解 x = 0 しか存在しない

な感じ？

同値性はおおよそ明らか。ちなみに階数の定義は OK ？

補足

そんな感じです。

階数の定義：(m,n)型行列Aに行基本変形を行って階段行列にした時、少なくとも１つは０ではない成分を持つ行の個数rを、行列の階数とと呼び、rankA=rと表す。

でOKでしょうか？

回答No.1

koko_u_

明らかに定式化が不足しています

>1：一次独立である
行列が「一次独立」とは？

>4：rankA=n（n：未知数の数）
未知数とは？

>5：自明な解をもつ
行列の自明な解とは？

補足

とてもあやふやな状態で聞いてしまっています。
ご容赦ください。

a(11)x ＋ a(12)y ＋ a(13)z=0
a(21)x ＋ a(22)y ＋ a(23)z=0
a(31)x ＋ a(32)y ＋ a(33)z=0
上記のような連立一次方程式で、その解が自明な解になる場合、自明でない解になる場合を判断する問題を解いている時　質問内容の1-5は同じ意味になるのかな？と疑問に思って質問しました。
>4
未知数は上記連立方程式のx,y,zです。
>5
x=y=z=0のことです。（この関係を「一次独立」と呼ぶのかと思っているのですが・・・。）