一次従属の問題

質問

「３個のベクトル
　Ａ＝（１，１，１）
　Ｂ＝（１，－２，３）　
　Ｃ＝（２，１，ａ）　が1次従属であるためには，ａはいくらでなければならないか。」

という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。

回答No.3

Mell-Lily · ベストアンサー

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
　a1x1＋a2x2＋・・・＋anxn=0
を満たす ak (k＝1,2,・・・,n) が、
　a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
　A=(1,1,1)
　B=(1,-2,3)
　C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。

【解答】
3つのベクトル、
　A=(1,1,1)
　B=(1,-2,3)
　C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
　xA+yB+zC=(0,0,0)
　(x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
　xA+yB+zC
　=x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
　=(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az)
　=(0,0,0)
より、
　x+y+2z=0 … (1)
　x-2y+z=0 … (2)
　x+3y+az=0 … (3)
(1)-(2)
　3y+z=0
　∴ z=-3y … (4)
(1)×a-(3)×2
　(a-2)x+(a-6)y=0
　∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
　x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
　x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
　{-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
　x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
　-6+4/(a-2)=0
　∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
　x=5, z=-3
であるから、
　xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
　a=8/3 … (Ans.)

参考URL：

http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.html

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。
どうやって解けばいいかが良くわかりました。

回答No.4

oshiete_goo

#2ですが, 補足訂正です.
#2の回答中
＞となる実数s,tが存在することである.
と書きましたが, この問題においては十分なのですが，定義からすると，完全に一般的には
＞となる定数s,tが存在することである.
とするべきでした(複素数s,tでスカラー倍を考えている)．
訂正いたします．

また＃３のご回答中
＞線形独立(linear independent)、
＞線形従属(linear dependent)であるという
とありますが，（多くの人が参照するので，正確を期するために申し添えると）

それぞれ
線形独立(linearly independent)　[←線形独立な]
線形従属(linearly dependent)　[←線形従属な]
となります．

ただし，independent，dependentはいずれも品詞は形容詞で，（名詞形ではありません）ほとんどこの形容詞形で表現されます．

お礼

補足まで加えてくださって、とても参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

[別解]
与えられた3つのベクトルが1次従属である条件は
→A≠→０, →B≠→０ を考えると
→C＝s(→A)+t(→B)
となる実数s,tが存在することである.
これを,s,t,aの連立方程式と見て解けばaが決まる.

回答No.1

nominomi

この場合三つのベクトルが一次独立である条件はこのベクトルの行列式が0でない。一次従属であるためには行列式が0であるということになります。

お礼

早い回答、ありがとうございました。