独立な事象かどうかの問題

質問

甥がやっている確率の問題です。さいころを2回投げる試行を考えたとき。
問１
　1回目に1の目が出るという事象をA、1回目と2回目の目の合計が7となる事象をBとする。事象Aと事象Bは独立か？
問２
　事象Aは問1と同じとし、1回目と2回目の目の合計が6となる事象をBとする。事象Aと事象Bは独立か？
甥の答え
　事象Aと事象Bが独立　⇔　P(A∩B)=P(A)・P(B)　が成り立つかどうか調べれば良いということで、
問１
　さいころ2回振って起きうる全事象の数は6*6=36通りでどれも等確率と考える。
　A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}の6通りなので、P(A)=6/36
　B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}の6通りなので、P(B)=6/36
　A∩B={(1,6)}の1通りなので、P(A∩B)=1/36
　で、P(A∩B)=P(A)・P(B)が成り立つので、事象AとBは独立。
問２
　P(A)は問1と同じだから、P(A)=6/36
　B={(1,5),(2,3),(3,3),(4,2),(5,1)}の5通りなので、P(B)=5/36
　A∩B={(1,5)}の1通りなので、P(A∩B)=1/36
　で、P(A∩B)≠P(A)・P(B)なので、事象AとBは独立ではない。
私も上の回答で正解と考えますが、間違いないですよね？
で、私のメインの質問は、上記の様に数式を使わずに、問1、問2の事象の独立性を言葉でわかりやすく説明できないものでしょうか？問1と問２は1カ所違うだけです。(合計が7か6かの違い）

回答No.1

stomachman

独立であることを言うには、「AであるときにBである確率」という条件付き確率 P(B|A)が、条件なしのP(B)と同じかどうか、つまり
　　P(B|A) = P(B)
を確かめたり、あるいは、「AでないときにBである確率」という条件付き確率 P(B|￢A)を使って
　　P(B|A) = P(B|￢A)
を確かめても良い訳です。1回目に出た目をp, 2回目に出た目をqとすると、pとqとは独立であるというのが暗黙の前提ですね。

問1: A=(p=1), B=(p+q=7)
p+q=7であるためには、pが1～6のどれであるかに応じてそれぞれqが丁度１通りに決まる。pが何であっても、p+q=7になるようなqは6通りの目のうちのひとつだけなのだから、p+q=7になる確率は同じ。つまり、P(B|A) = P(B|￢A) = P(B)であり、AとBは独立。
問2: A=(p=1), B=(p+q=6)
p+q=6であるためには、p≠6でなくてはならない。つまり、pが何であるかによってp+q=6となる確率が異なるので、P(B|A) ≠ P(B|￢A) であり、AとBは独立ではない。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
＞1回目に出た目をp, 2回目に出た目をqとすると、pとqとは独立であるというのが暗黙の前提ですね。
そうですね。これは数学的には前提（ないし仮定）とするしかないような気がします。他のモデルをもってきても数学的な議論は進むと思いますが、ぴたっとしたものが思い浮かべないし、数学以外の領域だと思います。常識的（経験的）にも1回目にでる目が2回目に出る目に影響するとは考えにくいですし。
コインを2枚重ねて（くっついているわけではないが）投げるのと、1枚1枚投げるのとは表裏の出る確率が違うという話しも聞いたことがあります。（真偽は定かではありませんが）