実数列の従属について教えてください。

質問

問、Ｑ；有理数体、Ｒ：実数体とすると、ＲはＱ上の（無限次元）ベクトル空間である。実数列ａ₁，ａ₂・・・ａn　がたがいに従属であるための必要十分条件は、実数列ａ₁，ａ₂・・・ａnがQ上の一次従属となることである。
　「実数列ａ₁，ａ₂・・・ａn　がたがいに従属である」の定義は次の通りです。
ａ₁，ａ₂・・・ａkの自明でない従属関係式が存在するとき、その列はたがいに従属であると定義する。すなわち、整数ｎ₁・・・ｎkで次の条件を満たすものが存在するときである。
　(1)n₁a₁+…nkak＝０
　(2)ｎ₁・・・ｎkの少なくとも一つは0でない。

一次関係式から有理数上にどう帰着させるか、逆として有理数上一次関係式から実数上で従属にどう帰着させるかが分りません。
　解答方針などご教授願います。よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

なんというか・・・言葉がよくわからんのだけど・・・

「RがQ上の無限次元ベクトル空間」
これは定理として使っていい．

「実数列ａ₁，ａ₂・・・ａn　がたがいに従属である」
というのの定義は
(0)ｎ₁・・・ｎkは整数
(1)n₁a₁+…nkak＝０
(2)ｎ₁・・・ｎkの少なくとも一つは0でない

証明対象は
「実数列ａ₁，ａ₂・・・ａn　がたがいに従属である」
ことと
「実数列ａ₁，ａ₂・・・ａnがQ上の一次従属」
は同値

・・・こういうこと？
だったら，自明だと思うのだが・・・・
ぶっちゃけた話，分母を払えば終わりじゃないですか？
どこに「無限次元ベクトル空間」を使うのかわからないから
裏読みしてしまう・・・勘違いしてるんかな

回答No.6

alice_44

でしょ？

で、実数の Q 上一次従属を、省略して単に「従属」と呼ぶことにする
ってだけの話を、「必要十分」という言い廻しに引っ掛かって悩んでる
のかな？と思ったり。それにしては、整係数一次結合の式が出典に
書かれてある風な様子なのが合わないけれど… はて、出典の詳細は？

回答No.5

kabaokaba

>ANo.4

そう．まさにそう．
「前提らしきもの」がどういう意図があるのか
何を前提に何を示したいのか・・・わからない

字面だけだと
No.3のように解釈するのは不自然ではないと思うけど
「なんでわざわざ」感が拭い去れない

回答No.4

alice_44

←A No.3
実数列が整数上一次従属であることの必要十分条件が
有理数上一次従属である ということを証明せよってこと？

確かに「問」の文章は、そう読めなくはないが、
R が Q 上のベクトル空間であることを前提に、なぜ
整数上一次従属に名前をつけて「実数列が従属」と呼ぶのか、
何がしたいのかが、さっぱり判らない。

有理係数の従属一次結合の分母を払えば、
整係数の従属一次結合には、なるけどさ…

回答No.2

uyama33

何が問題なのか良く分かりませんが、

Ｑ；有理数体、Ｒ：実数体とすると、ＲはＱ上の（無限次元）ベクトル空間である。

この証明でしょうか？

　もし、１次元なら、
R　は　q1*ａ₁　の形の数の集合であり、ａ₁は固定されていて　q1　が任意の有理数
となる。このときの要素の個数は有理数の要素の個数であり、加算無限個となる。
でも、実数はもっとたくさんあるから１次元ではない。

もし、２次元なら
R　は　q1*ａ₁+　q2*ａ₂　の形の要素からなり、その個数は2つの有理数の組み合わせの総数となり
これも、加算無限個となる、よってもっと次元が高くなる必要がある。

同じ話しから、有限次元ではないことは分かる。

無限の扱いがこの問題の鍵ですが、有理数の組に番号をつける方法や加算無限*加算無限の計算
などがあって、公理的集合論の確認が必要となる。

的外れなら、ごめんなさい。

回答No.1

alice_44

その「自明でない従属関係式」には、
(a1)の2乗-(a2)=0 とかも含まれる？
そうでなければ、帰着させるも何も、冒頭の文は
有理数上一次従属を言い換えて「実数の従属」と
定義しているだけでしかない。