位相

質問

実数全体R（標準位相が入ってる）の任意の離散部分空間ってZ（整数全体）と同型ですか？

よろしくお願いします。。

回答No.4

31415926

すみません，No3の証明は間違ってました．
AがRの離散「閉」部分集合の時は正しいですが，
そうでない場合もあるのでだめです．
(例：A={1/n | n=1,2,3,...})

正しい証明は以下の通りです．
Aの元xに対して
d(x) := inf(|y-x|), 但しyはxとは異なるAの元を走る
とおきます．Aは離散部分集合なのでd(x)>0です．

そして自然数n,mに対してAの元xで
-n<= x < n, d(x)>=1/m
をみたす集合をA_{n,m}とおきます．すると
A_{n,m}は高々nm個の元しか含みません．
(nm+1個以上の元を含めばそのうちのどれか
二つは距離<1/mとなり，d(x)>=1/mに矛盾する)
Aは有限集合A_{n,m}達の和集合なので可算集合に
なります．

回答ついでに蛇足かもしれませんが，
>実数全体R（標準位相が入ってる）の任意の離散部分空間ってZ（整数全体）と同型ですか？
という問いは，ひょっとしたら
Rの任意の離散部分「群」AはZと同型か？
ということを聞いておられるのでしょうか？
この問いの答えもYesです．証明は
-- Aは0を含む．
-- Aの0より大きい元のなかに最小の元が存在する
(でないと0はAの集積点となり矛盾)．
-- 上の「最小の元」をxとおくとA=Zxとなり
よってZと同型．
という感じですればよいです．

回答No.3

31415926

No 1にある命題
「有限集合でないRの離散部分集合Aは可算集合」
は正しいです．

証明：任意の自然数nに対してAと閉区間[-n,n]との
共通部分(A_nとおく)を考えると，これは
コンパクト位相空間[-n,n]の離散部分集合となるので
有限集合です．AはA_n達の和集合なので可算集合に
なります．

回答No.2

grothendieck

すみませんが、離散部分空間の定義を教えてもらえないでしょうか。もし「連続体より小さい濃度を持つ集合」とすると、これが可算濃度の他にないのか否かは「連続体仮説」とよばれ、「証明できないことが証明されている」と思います。

参考URL：

http://members.tripod.com/vismath1/zen/zen2.htm

回答No.1

adinat

位相空間の場合、普通は同型とは呼ばずに同相といいます。

さて問題は一般には正しくありません。なぜならRの有限部分集合は離散部分空間ですが、Zと濃度は等しくないからです。

ところでZと同相を言うためには、Zも離散空間（とみなしているんですよね？）であるので、結局全単射が存在すればよいことになります。（必然的に連続写像になるから）

そこでRの有限でない離散部分空間が可算集合かどうかが気になるところですが、それはおそらく証明できると思います（嘘かも知れないですが）

たとえば、Rの有限でない離散部分空間をAとします。Aの各元aはある十分小さな開区間I_aで、どのI_aも共通部分を持たないものがたぶん取れると思います。もし間違っているとしたら、このようにできないAがあるということです。そうすれば有理数の稠密性から、I_a全体（Aと同一視できる）からQへの単射が作れます。したがってAは可算集合ということになります。