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位相の問題です
Rに整数を境界とする開空間とその和集合と、空集合を開集合系を考える。 Rの部分集合がこの位相に関してコンパクトであること、有界であることは同値であることを考えています。 コンパクト⇒有界はわかったのですが、有界⇒コンパクトであることをどのように考えていけばいいのかわかりません。 よろしくお願いいします。
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- jcpmutura
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R=(全実数の集合) Z=(全整数の集合) とする 整数a<bを境界とする開区間を (a,b)={x∈X|a<x<b} とする |a-b|=b-aを開区間の幅という事にする Β={(a,b)|a∈Z,b∈Z,a<b} を基底とする位相を Θ とする (a,b)∈Βに対して x∈(a,b)ならば a<x<b x∈R-Z,xが整数でないとき xの整数部をint(x)とすると a<int(x)≦x<int(x)+1≦b だから 開区間(int(x),int(x)+1)は(a,b)に含まれ x∈(int(x),int(x)+1)⊂(a,b) となる x∈Z,xが整数のときint(x)=xで a≦x-1<x<x+1≦b だから x∈(int(x)-1,int(x)+1)=(x-1,x+1)⊂(a,b) となる G∈Θとすると G≠φならば x∈Gとなるxがあり あるインデックス集合Λに対して λ∈Λ→(a_λ,b_λ)∈Β x∈G=∪_{λ∈Λ}(a_λ,b_λ) となるから x∈(a_λ,b_λ)となるλ∈Λがあって x∈(int(x),int(x)+1)⊂(a_λ,b_λ) または x∈(int(x)-1,int(x)+1)=(x-1,x+1)⊂(a_λ,b_λ) となるから x∈(int(x),int(x)+1)⊂∪_{λ∈Λ}(a_λ,b_λ)=G または x∈(int(x)-1,int(x)+1)=(x-1,x+1)⊂∪_{λ∈Λ}(a_λ,b_λ)=G となる R⊃X≠φを有界集合とする X⊂∪_{λ∈Λ}G_λを任意の開被覆とする Xは有界だから 整数a<bが存在して 任意のx∈Xに対して→a<x<b となる k=1～b-aに対して (a+k-1,a+k]∩X=φの場合は G_k=φ とする a+k∈Xの場合 a+k∈X⊂∪_{λ∈Λ}G_λ a+k∈G_λk∈ΘとなるG_λkがあり a+k∈(a+k-1,a+k+1)⊂G_λk となるからそれを G_k=G_λk とする (a+k-1,a+k)∩X≠φ の場合 xk∈(a+k-1,a+k)∩X⊂∪_{λ∈Λ}G_λ となるxkがある xk∈G_λk∈ΘとなるG_λkがあり int(xk)=a+k-1だから xk∈(a+k-1,a+k)⊂G_λk となるからそれを G_k=G_λk とする 任意のx∈Xに対して→a<x<b だから x=a+k∈Z→x∈(a+k-1,a+k+1)⊂G_k x∈R-Z→x∈(a+k-1,a+k)⊂G_k となるkがあるから X⊂∪_{k=1～b-a}G_k は有限開被覆となるから Xは位相Θでコンパクトとなる 位相Θでは幅が1より小さい近傍が存在しないためこうなるが Rの通常の位相では 任意の小さい近傍が存在するから コンパクトでない有界集合が存在する 例) N=(全自然数の集合) X={1/n}_{n∈N} とすると XはRの有界集合だが {G_n}_{n∈N}を 1∈(1/2,2)=G_1 2≦n∈Nのとき 1/n∈(1/(n+1),1/(n-1))=G_n とすると X⊂∪_{n∈N}G_n (無限)開被覆となるが ある自然数kに対して n≠kに対して1/k∈X-G_n {G_n}_{n∈N}-{G_k} は開被覆とならないから コンパクトでない
＞・・・整数を境界とする開空間・・・ の開空間は、開区間の誤植ですか？。それから「・・・とその和集合と、空集合・・・」と言わないでも、整数を境界とする開区間を「基底とする位相」という便利な言葉があります(^^)。 通常のRの位相は「開区間を基底とする位相」なので、あなたの位相は通常の位相より粗くなりますが、本質は変わらないと思います。 通常のRの位相では、 有界閉集合 ⇔ コンパクト． が基本性質になります。有界であってもコンパクトでない部分集合はいくらでもにありますよね？。ただ、 有界 ⇔ 相対コンパクト． は言えるはずです。部分集合Aが相対コンパクトとは、Aを含むコンパクト集合が存在する事です。いいかえれば、 部分集合Aが有界 ⇔ Aを含む有界閉集合が存在する． です。
