位相空間

質問

分からない問題があります！教えてください！

１次元ユークリッド空間Ｒ^1の上の関係
　Ｒ＝{(x,y)∈Ｒ^1×Ｒ^1｜x-y∈Ｚ}
について以下を示せ（Ｚは整数全体）
(1)Ｒは同値関係である。
(2)商空間Ｒ^1/Ｒはコンパクトである。
(3)商空間Ｒ^1/Ｒはハウスドルフである。
(4)商空間Ｒ^1/Ｒは弧状連結である。

どなたかよろしくおねがいします！

回答No.5

noname#221368 · ベストアンサー

まず出題者の気持ちはわかりますが、記号がひどいと言えば、ひどいです。Ｒが3重の意味に使われてます。
　　　Ｗ＝{(x,y)∈Ｒ^1×Ｒ^1｜x-y∈Ｚ}⊂Ｒ^2
とでも書くべきだと思います。
　色んな方が、イメージ豊かに応えてらっしゃるので、ここはもう少し即物的（集合論っぽく）いってみます。講義では、こんな具合ではないかと思いますので・・・。

(a)Ｒは同値関係である。
　これは、Ｗで定義される関係Ｐは同値関係であることを示せ、です。しばらくＷのことはほっときましょう。Ｐとはx，yを実数として「差が整数である」という関係、ただそれだけです。よって、「x－yが整数になる」ことに、反射性，対称性，推移性を示せばいいだけです。

(b)商空間Ｒ^1/Ｒ
　さっき言ったことから、これは商空間Ｒ^1/Ｐと書くべきです。「x－yが整数になる」xとyを数直線上に、次々とプロットしていけば、値がとびとびの点がならびます。例えばxから始めるとすれば、このようにして得られるＲの部分集合をＣ(x)と書きます。なんでＣ(x)のxかといえば、反射性，対称性，推移性より、y，z∈Ｃ(x)であれば、Ｃ(x)＝Ｃ(y)＝Ｃ(z)となるので、代表してＣ(x)と書いてるだけです。
　次に、xを数直線上で移動させて考えると、各Ｃ(x)は、Ｒを交わりのない部分集合に分類します。この分類を、類別といい、各部分集合Ｃ(x)をＰによる同値類と名づけるだけです。
　とこらがさらに、Ｃ(x)を全部集めた集合の集合を考えよ、というのが今の教育方針です。そっちのほうがわかり易いだろうと（ホントかいな？）。この、Ｃ(x)を全部集めた集合の集合が、商空間Ｒ^1/Ｐ（Ｒ^1/Ｒ）の正体です。

(c)用語の流用
　ところが今の教育方針では、関係すらも集合で扱うことになっています（正しい態度ではありますが）。そこで取ってつけたように、
　　　Ｗ＝{(x,y)∈Ｒ^1×Ｒ^1｜x-y∈Ｚ}⊂Ｒ^2
が現れるわけです。なので単にこれは、用語の定義とみなしてかまいません。そして、関係Ｐは集合Ｗで定義できるので、用語を流用して、Ｒ^1/ＰをＲ^1/Ｗと書くこともあります。ところがＲが3重の意味に使われているので、非常にわかりにくくなったわけです。

(d)標準全射
　以上の舞台装置の上に、今風のやり方では、関数（写像）φ(x)＝Ｃ(x)を考えます。ここで、x∈Ｒ，Ｃ(x)∈Ｒ^1/Ｐです。このφが連続全射であることはすぐにわかり、標準全射とか包含写像とか呼ばれます。

(e)コンパクト，ハウスドルフ，弧状連結
　上記のφの連続性から、Ｃ(x)⊂Ｒと考えたＣ(x)のコンパクト性，Ｒの分離性（ハウスドルフ），Ｒの連結性が、全射だからＲ^1/Ｐ全体にうまく伝わる。なんかこんな方向だったと思います。

お礼

細かな解説ありがとうございます！
やっとＲについて分かり、(1)の同値関係はわかりました！
後は残りの三つを考えてみたいと思います！

回答No.7

ojisan7

講義ノートを読み返せば、ほとんど、明らかな問題ではないではないでしょうか。ご質問を見ると、「関係」を、集合Ｒ＝{(x,y)∈Ｒ^1×Ｒ^1｜x-y∈Ｚ}で定義しているようです。分かりやすく言えば、xRy⇔(x,y)∈Rということですよね。この「関係」Rが同値関係であることは明らかです。商空間Ｒ^1/Ｒは区間(0,1]ですから、円周と同相になります。これは有界閉集合ですから、コンパクトであることは明らかです。(3),(4)も明らかです。これらは、基本問題ですから、参考書やノートを良く読み返して、ご自分で考えることが大切です。頑張って下さいね。

お礼

親切にありがとうございます。
講義で配られたプリントや教科書などを読み漁って考えていますが、
自分が全然わかっていなかったことを痛感しています。
しっかり読んで自分のものにしたいと思います。

回答No.6

zk43

再び

抑えつけるという意味がよくわからないのですが、点列が集積点を
もつとか、任意の被覆から有限被覆が選べるとかということですか。
（確か、どっちでも同じことだったと思う）

商空間R^1/Rが円周S^1に同相で、S^1がコンパクトというのでは
だめでしょうか。S^1がコンパクトであることをいうのは、S^1を
平面R^2に埋め込んで、R^2の有界閉集合だからコンパクトというのは
正確でないのかな？（ハイネ・ボレルの定理より）

あるいは、ちゃんと任意の無限点列があったとして、これから、収束
する部分列をとれるということを、ボルツァノ・ワイエルシュトラス
の定理（だったかな？）と同じように示すのか・・・

正確な証明は本を当たったほうが・・・この辺でご容赦を。

お礼

何度もありがとうございます。
コンパクトについても理解できました！後は残りの二つについて
考えてみたいと思います！勉強不足で申し訳ありませんでした。

回答No.4

zk43

偶数＋偶数＝偶数、偶数＋奇数＝奇数などという場合、
０，２，４、・・・とか１，３，５、・・とかを同一視
しているようなイメージでしょうか？
代数でZ/nZのなかでの演算などはやりましたでしょうか。
余りが同じものを同一視しているのと同じと思います。

集合Xを同値関係～で同値分類した商集合X/～では、各同値類
から代表元を１つとって考えることができます。

関係Rで、x-y∈Zということは、x=1.1とy=2.1とか、x=0.2とy=5.2
とか、差が整数なのを同一視しているということで、
・・・,x－3,x－2,x－1,x,x＋1,x＋2,x＋3,・・・
をすべて同一視しているのです。
xが１だけずれても同じ集合になるので、代表元を考えて、
[0,1)だけを考えても良いことになります。
（別に区間の長さが１ならばどこでも良いです）
0と1はRという関係にあるので、0と1を同一視して（0と1をくっつけ
て）、R^1/Rは円周S^1と同相と考えられます。

図形的なイメージでは、螺旋階段があって、階段にいる人と、地上でそ
の人の影（真上からの）だけを見ている人がいるとします。
影を見ている人は、階段にいる人が何階にいるかは分からず、１回転の
うちの位置がわかるのみです。関係Rは階数を問題にせず、１回転のう
ちの位置のみを問題にしていると考えることができます。
つまり、関係Rは、螺旋を平面上に投射するというイメージであると思
います。位相なので、別にR^1を真っすぐな直線と考えている必要はな
く、曲げて考えても良いと思います。

お礼

すごくイメージしやすくなりました!!ありがとうございます！
螺旋階段ですね☆
後はコンパクトのところが微妙で…
どうやって抑え付けたらいいのでしょうか？

回答No.3

koko_u_

R^1 の 2点 x, y に「関係がある」かどうかを数学的に定義すると R^1 × R^1 の部分集合 R に「含まれるか」かどうかになります。

つまりこの問題では x と y の差が整数である場合に x と y は「関係がある」として話が進んでいます。
んで、「関係がある」点を「同一視」した集合が R^1/R

お礼

つまり…
(x,y)∈Ｒ^1×Ｒ^1なx,yはx-y∈Ｚとなるものであるってことでしょうか？
＞「関係がある」点を「同一視」した集合が R^1/R
この部分がまだいまいちわかりません。同一視する、とはどういうことなんでしょうか？何度もすいません。

回答No.2

zk43

同値関係の同値律、反射律、推移律とか、同値分類とかはご存じですか。
これが怪しい場合は、一旦集合の教科書を復習したほうがよいかも。
Rは二つの実数x,yの差が整数のときはx,yを同一視するということでは
ないですか。
ということは、R^1を円周の長さが１の円周上にぐるぐる巻き付ける
ということで、商空間は円周S^1に同相ではないでしょうか。
証明を逐一書くのは面倒ですが、コンパクト、ハウスドルフ、弧状連結
なのは、見える感じがします。

お礼

ありがとうございます。
大学で位相空間についてやっていますがどうにもわからんくて…
どうにもイメージがつかないで困っています。
集合の教科書を見てみようと思いますが、
＞Rは二つの実数x,yの差が整数のときはx,yを同一視するということではないですか。

という部分がわかったようでたぶんわかっていません><;
Ｒについて理解できればあとはなんとかなりそうな気がするのですが…

回答No.1

koko_u_

(1)すら分からないのであれば、先行きは暗いなぁ。

お礼

すいません、日本語的に少し分からなくて…
問題のＲはどういうことなのでしょうか？
何を言っているかがいまいちイメージできません。教えていただけないでしょうか？