位相についてです。

質問

位相の教科書で、「離散空間は局所コンパクトである」と書いてあるのですが、いまいちよくわかりません。どう考えればよいでしょうか？教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

graphaffine · ベストアンサー

#1の解答で良いと思います。が、かなり細かい点ですが、
誤解を与えそうな部分が有りますので指摘させてもらいます。
＞すなわちxの近傍は{x}です。
を、
すなわち{x}はｘの近傍です。
に直す。
元のままだと、ｘ
の近傍が｛ｘ｝だけだと誤解されるかもしれませんので。

お礼

アドバイス、ありがとうございました！
疑問がひとつ解決しました。

回答No.4

鳴瀬 美幸（@naruse）

> これは、Ｘの任意の開被覆{x}が、有限な部分被覆をもつからですか？
> この場合、有限な部分被覆はｘになるのでしょうか？
{x}は確かにＸの部分集合である{x}を被覆するcoverの一つ
ですが、coverとは集合族なのでより正確には{{x}}と記すべきものです。
また、{x}を被覆するcoverは{{x}}以外にもたくさん有りえます。それと上記の質問文は意味をなさない（あるいは意味が通らない）ことに気付いていますか？
初歩の位相は、まさに言語なので、新しい言語を習得するという意味でとっつきづらい面もありますが、
ゆっくりと修得してください。

#1に関連しての補足要求ですが、
局所コンパクトの定義はお持ちの教科書ではどのように
なっていますか？
局所コンパクトの定義は数通りあります。どれを採用しても本質的な差異はないのですが、もし、授業としての演習
課題ならば定義に忠実であることの方がより望ましい
と思いますので。
参考URLを参考にしてください。

参考URL：

http://www.freeml.com/ctrl/html/MessageListForm/topology@freeml.com

お礼

もう一回、よく読んで考えてみます。
ありがとうございました。

回答No.3

shige_70

#1です。

#2さんのおっしゃるとおりで、{x}はxの近傍のひとつですが、他にも近傍がありますね。
すみません。#2さんに20pts.差し上げてください。

さて、孤立点とは集積点とならない点のことですが、まず、離散位相の定義から、離散空間Xの任意の点xに対して、{x}も開集合、すなわちxの(開)近傍です。ということは、Xのすべての点は『任意の近傍が他の点を含む』という集積点の定義を満たしていません。
よって、離散空間の任意の点は孤立点となるわけです。

ちなみに、私が幾何の勉強をしたのは10年くらい前なので、間違いがある可能性を否定できないことを申し添えておきます。。。

お礼

なるほど！わかりました。
たびたび、質問していいですか？
初めの回答で、
＞{x}はひとつの点しかもたないので有限集合であり、よってコンパクトです。
とあるのですが、まだ頭のなかですっきりしないんです。これは、Ｘの任意の開被覆{x}が、有限な部分被覆をもつからですか？この場合、有限な部分被覆はｘになるのでしょうか？

すみません。教えてください。

回答No.1

shige_70

離散空間の定義から、離散空間Xの任意の点xは孤立点であり、すなわちxの近傍は{x}です。
また、Xは孤立点しかないので、近傍の閉包Cl{x}も{x}です。
{x}はひとつの点しかもたないので有限集合であり、よってコンパクトです。

以上より、離散空間Xは局所コンパクトの定義を満たしていることが分かります。

お礼

離散空間について、私はまだよくわかっていないことに気がつきました。私の中では、「離散空間の任意の部分集合は開集合である」ということしかなかったです。
そこで、すごく基本的な質問だと思うのですが、離散空間の任意の点は孤立点であるということが、よくわかりません。どうしてなんでしょうか？教えてください。お願いします。