位相による写像が連続かどうかの問題です。

質問

位相による写像が連続かどうかの問題です。
(X,Qx),(Y,Qy):位相空間
写像f:X→Yが連続
⇔任意のU∈Qyに対して,f＾-1(U)∈Qx―(1)

R^m：m次元数空間
Q^(m):R^mの開集合全体のなす集合族
X=(R^m,Q^(m))
Y=(R^n,Q^(n))
とすると
f:R^m→R^nが(1)の意味で連続
⇔任意のx∈R^m,任意のε＞0,δ(存在する)＞0,s,t f(N(x,δ))⊂N(f(x),ε)

を証明せよ。

わかる方いましたらどうかよろしくお願いいたします<(_ _)>

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

→)
f:R^m→R^nが連続で
任意のx∈R^m,任意のε>0 とする
N(f(x),ε)開∈Q(R^n)　だから
f^{-1}(N(f(x),ε)開∈Q(R^m)
N(x,δ)⊂f^{-1}(N(f(x),ε))
となるδ>0が存在するから
f(N(x,δ))⊂N(f(x),ε)
←)
任意のV∈Q(R^n)に対して
x∈f^{-1}(V)とすると
f(x)∈Vだから
N(f(x),ε)⊂V
となるε>0が存在する
f(N(x,δ))⊂N(f(x),ε)
となるδ>0が存在する
x∈N(x,δ)⊂f^{-1}(V)
f^{-1}(V)∈Q(R^m)
fは連続

お礼

遅れてすいません

丁寧なご回答ありがとうございました<(_ _)>

回答No.1

koko_u_u

まずは開集合全体のなす集合族の定義を補足にどうぞ。