複素数が入った4次方程式

質問

x^4-4x^3-8x^2+24x-45=0 は x=1+√2i を解にもつ。
その他の解を求めよ。またこの解を知って
x^4-4ｉx^3-8x^2+24ｉx-45=0の解を求めよ。
という問題です。

x^4-4x^3-8x^2+24x-45=0のその他の解は求めました。
x=1-√2i　x=5　x=-3　（すいませんがあっているかはわかりません）
このことから　x^4-4ｉx^3-8x^2+24ｉx-45=0　（2番目と4番目の項の係数にｉが入っただけ）を求めるためにはどうすればいいのでしょうか？教えてくださいよろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

KENZOU · ベストアンサー

＞x^4-4x^3-8x^2+24x-45=0のその他の解は求めました。
x=1-√2i　x=5　x=-3　（すいませんがあっているかはわかりません）
あっています。
julie-eleganceさんがご指摘されているように根と係数の関係を使うと上手くいます。
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0を展開すると
x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+bc+bd+da+dc)x^2-(abc+bcd+cda+dab)x+abcd　(1)
となります。a,b,c,dは4次方程式の解ですからa=1-√2i,b=5,c=-3,d=1+√2iとおけますね。さて、この解を利用して次の4次方程式を解けということですが、、、
＞x^4-4ｉx^3-8x^2+24ｉx-45=0　(2)
の解を求めよ
(1)よりx^3の係数：a+b+c+d=-4　(3)
(3)の両辺にiをかけるとai+bi+ci+di=-4i
→a,b,c,dに上の具体的数字を入れて確認してください。これはx^3の係数が4iとなる4次方程式でその解はai,bi,ci,diであるということですね。これに勢いを得て(笑い）x^2,xの係数と定数項を計算すると
x^2の係数：(ab+ac+bc+bd+da+dc)i^2=-8
xの係数：(abc+bcd+cda+dab)i^3=24i
定数項：(abcd)i^4=-45
となり、上手い具合にいきました。結局(2)の4つの解はai,bi,ci,diであるということがわかります。具体的な値はすぐ計算できますね。

回答No.7

wayne_g

すみません。
９行目　xは-1を掛けて は
　　　　xは-iを掛けて です。

補足

(2)の式の+24ixというのは-24ixのことだと思いますが…、x=ixを代入してみたら(1)に戻ったようなのですが、PHDRさんは-ixとおっしゃっているので…どっちなんでしょうか？

回答No.6

wayne_g

私より前の回答者の方々を参考して
x^4-4 x^3-8x^2+24 x-45=0…(1)
x^4-4ix^3+8x^2+24ix-45=0…(2)
(1)の解を知って(用いて) ということなので
(1)(2)を比較すると
　x^4は同じ
　x^3は-iを掛けて
　x^2は-1を掛けて
　　xは-1を掛けて
定数項は同じ
というようになっていますね。

回答No.5

noname#8027

>本当はx^4-4ix^3+8x^2-24ix-45=0でした。それとそ
>の問題の方針「xにixを代入」というのが載ってい
>るのを見つけました。この式にixを代入すると解が
>求められるのでしょうか？もしよかったら回答よろ
>しくお願いします。

-ixですね。

それで、わかりにくかったら、x=-itとおいて、代入してみましょう。最初の方程式が利用できると思いますよ。なぜ、そうするか・・・、は直感のような経験のようなもので、定石のような一般的問題ではないように思います。

回答No.4

noname#24477

直感的にはｉｘが解になりそうですが
後ろの式に代入しても最初の式と同じになりません。
微妙に符号が変わってしまいます。

＃２でkony0さんが指摘されている通りです。
前の式を利用して、だからそう複雑な式になる問題とも
思えませんが符号は変わってはいませんか？

補足

すいません。指摘どおり符号が変わっていました。問題が小さい字で書いてあり見えにくかったのですが……。本当に申し訳ありません。なんと謝ればいいのか…。julie-eleganceさん、kony0さん、KENZOUさん、ojamanboさん、わざわざ考えていただいたのにこちらのミスで貴重な時間を費やさせてしまって…。

本当はx^4-4ix^3+8x^2-24ix-45=0でした。それとその問題の方針「xにixを代入」というのが載っているのを見つけました。この式にixを代入すると解が求められるのでしょうか？もしよかったら回答よろしくお願いします。

回答No.2

kony0

x^4+4ｉx^3+8x^2+24ｉx-45=0や
x^4-4ｉx^3+8x^2-24ｉx-45=0の解は簡単ですが、
x^4-4ｉx^3-8x^2+24ｉx-45=0の解は簡単に求められるんでしょうか・・・？
（前者はix、後者は-ixが先の方程式の解となります）

回答No.1

julie-elegance

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0　（ただし、a,b,c,dは４次方程式の解）を展開した式を比較して、４次方程式の解と係数の関係を作り、x^4-4x^3-8x^2+24x-45=0とx^4-4ｉx^3-8x^2+24ｉx-45=0に解と係数の関係を利用するといいと思いますよ。