複素数と方程式の解

質問

ａ，ｂを実数の定数とする時次の問に答えよ。ただしｉ＝√－１とする。
(１)ｘの３次方程式ｘ＾３＋(ａ＋３)ｘ＾２＋(３ａ＋２)＋２ａ＝０が重解をもつようなａの値をすべて求めよ。

ｘ＾３＋(ａ＋３)ｘ＾２＋(３ａ＋２)＋２ａ＝０を変形して(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ａ＋ｘ)＝０。ａ＋ｘ＝０がｘ＝－１を解に持つ時ａ＝１。ａ＋ｘ＝０がｘ＝－２を解に持つ時ａ＝２
この考え方で合っているのでしょうか？間違いを指摘して頂けると嬉しいです。

(２)ｘの三次方程式ｘ＾３－５ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝０の１つの解がｘ＝２－３ｉの時、ａ，ｂの値をそれぞれ求めよ。また他の解を全て求めよ。

ｘ＾３－５ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝０にｘ＝２－３ｉを代入した所でとまっています。どなたか教えて下さい。
回答、よろしくお願いします。

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

(2)
解き方は、他の方の通りです。

＞ｘ＾３－５ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝０にｘ＝２－３ｉを代入した
とありますが、どのように代入しましたか？
(2-3i)^3-5(2-3i)^2+a(2-3i)+b
を計算したのでしょうか？

x=2-3i より、x-2=-3i
これを2乗するとx^2-4x+4=-9よって、x^2=4x-13
これをx^3-5x^2+ax+b=0に代入していくと
(a-17)x +(b+13)=0・・・☆
となります。これにx=2-3iを代入する方が楽ですね。

ですが、このように解くよりは、
☆の左辺がx^3-5x^2+ax+bをx^2-4x+13で割った余りですので、☆を恒等式とみて、a,bを求める方が楽ですね。

私が思いつく範囲では#1さんの【別解】のように解くのが一番楽です。

お礼

eaternさんのお礼欄を借りてお礼をさせて頂きます。みなさんの回答を見ながら「そういえば、こんな解法もあったな」「ややこしく考え過ぎていたな」と思いました。どれも丁寧な回答で、よく理解する事が出来ました。ありがとうございました。

回答No.4

fushigichan

＃３です。
答えも書いておきますね。

-(4+p)=-5より、p=1

13+4p=aより、a=17

13p=bより、b=13

となるので、方程式は、

x^3-5x^2+17x+13=0
となりそうです。
３つの解は、

x=2+3i,2-3i,1
となります。
ご参考になればうれしいです。

回答No.3

fushigichan

ti-zuさん、こんにちは。

(1)
＞ｘ＾３＋(ａ＋３)ｘ＾２＋(３ａ＋２)＋２ａ＝０を変形して(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ａ＋ｘ)＝０。ａ＋ｘ＝０がｘ＝－１を解に持つ時ａ＝１。ａ＋ｘ＝０がｘ＝－２を解に持つ時ａ＝２
この考え方で合っているのでしょうか？間違いを指摘して頂けると嬉しいです。

考え方は、合っていますね。
まず因数分解しようと思ったのが、いいところに目をつけたと思います。

x^3+(a+3)x^2+(3a+2)x+2aですね？
=(x+1)(x+2)(x+a)←因数定理より

のように因数分解できるので、
重解を持つ⇔a=1またはa=2となるはずですね。
(x-p)^2のような因数が出るようにaの値を定めればいい、ということです。

(2)
＞(２)ｘの三次方程式ｘ＾３－５ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝０の１つの解がｘ＝２－３ｉの時、ａ，ｂの値をそれぞれ求めよ。また他の解を全て求めよ。

x=2-3i
を解に持つときは、2+3iもまた、この３次方程式の解になっています。
このことを用いれば、少し簡単になるのでは？

今、２つの解が2-3i,2+3iと求められたので、
もう一つの解をpとします。

すると、３次方程式の解と係数の関係から
(x-a)(x-b)(x-c)=0
のとき、
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
となるので、

x^2の係数
-{(2-3i)+(2+3i)+p}=-(4+p)

xの係数
(2-3i)(2+3i)+p(2-3i)+p(2+3i)=13+4p

定数項
-(2+3i)(2-3i)p=13p

これと、
x^3-5x^2+ax+b=0

の係数を比較すると、
a,b,pの３つの文字で、３つの連立方程式があるので
解けると思います。
頑張ってください！！

回答No.2

hinebot

#1です。

(2)の問題について一応答えは、
a=17,b=-13,残りの解はx=2+3iとx=1 になると思います。

回答No.1

hinebot

(1)
>ｘ＾３＋(ａ＋３)ｘ＾２＋(３ａ＋２)＋２ａ＝０
問題の上の式が
ｘ＾３＋(ａ＋３)ｘ＾２＋(３ａ＋２)ｘ＋２ａ＝０
であるなら合ってます。
細かいことを言うと
>(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ａ＋ｘ)＝０
は
(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ＋ａ)＝０
と書くべきですね。
それから「ｘ＝－１を解に持つ時ａ＝１」も「ｘ＝－１を重解に持つ時ａ＝１」とちゃんと書くようにしましょう。
一般的に３次方程式で重解を持つといわれたら
(x-p)^2(x-q)=0
か
(x-p)^3 = 0
の形に因数分解できることと同義です。

(2)
>ｘ＾３－５ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝０にｘ＝２－３ｉを代入した所でとまっています。

これでａとｂに関する式がひとつできていますね。
もうひとつ、ａとｂに関する式があれば、連立方程式でａとｂは求められますね。
では、どうするか？
これは以下の複素数の性質を使います。
「実数を係数とする方程式が虚数a+biを解に持つとき、共役な複素数a-biもその方程式の解になる。」
つまり、ｘ＝２－３iが１つの解なら共役な複素数ｘ＝２＋３iも解になります。
これを代入してaとbの式をもうひとつ作ってみましょう。

【別解】
(2)については、こんな方法もあります。ですが
「実数を係数とする方程式が虚数a+biを解に持つとき、共役な複素数a-biもその方程式の解になる。」
この性質を使うことは変わりありません。
ｘ＝２±３iを解に持つ２次方程式を考えて見ましょう。
ｘ－２＝±３i で、両辺を２乗して
(x-2)^2 = 9 より　x^2-4x+13 = 0
となります。（解の公式で検算してみてください）
よって、ｘ＾３－５ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝０は
(x^2-4x+13)(x-p) = 0
の形に変形できます。あとはこれを展開して係数をひとつひとつ比べれば、a,b.pが定まります。
この方法なら、もうひとつの解(x=p)もすぐに求めることができますね。