複素数と方程式の問題

質問

実数を係数とするｘの３次方程式x^3-√3x^2+3x+a=0の異なる３つの解の実部がすべて等しいときのａの求め方がわかりません。自分で頑張って解こうという気はあるのですが、取っかかりが見つかりません。どなたか、ヒントをいただけないでしょうか？

回答No.2

kurobe3463 · ベストアンサー

ガウスの代数学の基本定理からわかるのです．
ガウスの代数学の基本定理はいろんな言い方があるけれど，この問題に使うには

「実数係数のすべてのn次の多項式は
　実数係数の 1次式，2次式の積に因数分解される．」

したがって，3次式は実数の範囲で1次式３つ（実数解）に因数分解されるか，１つの1次式（実数解）と１つの２次式（共役な虚数解）に因数分解される．

だから１つは実数解 p で残りの２つは共役な虚数解．

回答No.3

p-masa

実数を係数とする３次方程式は少なくとも1つは必ず実数解をもちます(３次関数グラフを考えることにより理解できる)。
よって、
ax^3+bx^2+cx+d=0という３次方程式は
a(x-α)(x^2+px+q)=0の形に変形できます。
※α,p,qはすべて実数
また、x^2+px+q=0の2解は、「異なる３つの解の実部がすべて等しい」という条件より異なる2つの虚数解となり、x^2+px+q=0に解の公式を適用することを考えれば、その解は、
x=m±ni(m,nは実数)と表せ、
よって、元の３次方程式の解は
x=α,m±niとなり、
再び「異なる３つの解の実部がすべて等しい」という条件より、
α=mとなり、よって解は
x=m,m±niとなります。
あとは、この３解で解と係数の関係を考えればaが出てくるでしょう。

回答No.1

kajina

3つの解はp, qを実数として
α=p
β=p+qi
γ=p-qi
とおけるのがわかれば、解と係数（本来は根と係数）の関係からaが直ちに分かりますね。なぜこのようにおけるか、分かりますか？

お礼

実部が同じなので、pが共通するというのは分かりますが、なぜこうなるのかいまいちわかりません。詳しく教えていただけますか？