高次方程式と虚数解

質問

3次方程式x^3+ax^2+bx+2=0が1-iを解にもつとき、
実数の係数a、bの値を求めよ。また、他に解を求めよ。

この問題はどうやってとけばいいですか？

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

実数係数高次方程式の性質から
x=1-i
が解ならそれと共役なx=1+iも解になる。
つまり
左辺は　(x-1+i)(x-1-i)=x^2-2x+2
という因数をもつ。

したがって、もう1つの解をx=cとおくと
x^3+ax^2+bx+2=(x^2-2x+2)(x-c)=x^3-(c+2)x^2+2(1+c)x-2c
係数を比較して
a=-c-2
b=2(1+c)
2=-2c
a,b,cについての連立方程式を解いて
c=-1,a=-1,b=0

元の3次方程式のに代入して
x^3-x^2+2=(x^2-2x+2)(x+1)=0
x=1±i, -1

お礼

ありがとうございます＾＾

回答No.2

178-tall

実係数であれば、1-i が零点なら 1+i も零点。
　　　↓
x^2 - 2x + 2 で割り切れる。
　　　↓
2a+b+2=0 かつ -2a=0

…では？

回答No.1

aokii

まずは1-iをxに代入してみましょう。