複素数と方程式

質問

問題の解説が無く、解き方が分からなくて困ってます＞＜
教えてください。
(1)２次方程式（ｘ－８）（ｘ－９）＋（ｘ－１０）（ｘ－１２）＝０
の２つの解をα、βとするとき、２（１１－α）（１１－β）の値を求めよ。

(2)２次方程式ｘ^2－5ｘ－5＝０の2つの解の小数部分を解とする
2次方程式をつくれ。

(3)x^2＋xy－2y^2＋kx＋2y＋４（ｋは正の定数）がx、yについての2つの1次式
の積で表されるとき、ｋの値を求めよ。

回答No.5

noname#101087

最後が、(3) の 3rd opinion かな。

>(3)x^2＋xy－2y^2＋kx＋2y＋４（ｋは正の定数）がx、yについての2つの1次式 の積で表されるとき、ｋの値を求めよ。

No.2 さんのコメントに便乗。
　　↓
>判別式を使う手もある....
　　↓
原式を x の 2次方程式とみる。
　x^2 + (y + k)x + (-2y^2 + 2y + 4) = 0　　　…(A)
判別式
　(y + k)^2 - 4*(-2y^2 + 2y + 4) = 9y^2 +(2k-8)y + k^2 - 16　　　…(B)
が y 整式の二乗になればよい。
つまり式 (B) が二重根をもてばよいから、その判別式
　(k - 4)^2 - 9(k^2 - 16) = 8(4-k)(5+k)　　　…(C)
が零になればよい。

あとの検査役はそちらにお任せ。
勘定が面倒なのはしようがないらしい。事務的(？)に勘定できるのが取りえです。

回答No.4

noname#101087

(2) は、#1 さんと同じ結論。

もとの解の一方が、もと解の小数部分 d と一致するらしい。

つまり、もとの解を求めんと、わからんのです。

回答No.3

noname#101087

(1) だけでも。
(x-8)(x-9)+(x-10)(x-12) = 2(x-α)(x-β)
だから、
(11-8)(11-9)+(11-10)(11-12) = 2(11-α)(11-β)

回答No.2

mister_moonlight

＞(3)x^2＋xy－2y^2＋kx＋2y＋４（ｋは正の定数）がx、yについての2つの1次式の積で表されるとき、ｋの値を求めよ。

手間はかかるが、素直にやってみよう。

2つの1次式をx＋ay＋b、x＋cy＋dとする。条件式でx^2の係数が1である事に注意。
すると、x^2＋xy－2y^2＋kx＋2y＋4＝（x＋ay＋b）*（x＋cy＋d）＝x^2＋（a＋c）xy＋ac*y^2＋（b+d）x＋（bc＋ad）y＋bd。
つまり、a＋c＝1　‥‥(1)、ac＝-2　‥‥(2)、b+d＝k　‥‥(3)、bc＋ad＝2　‥‥(4)、bd＝4　‥‥(5).

ここから、計算が面倒だが、(1)と(2)から　（a、c）＝（2、-1）、or、（-1、2）
（a、c）＝（2、-1）の場合は(4)と(5)から（b、d）＝（2、2）、or、（-4、-1）。そうすると、k＞0から　kの値は？
（a、c）＝（-1、2）の場合も同じ。（結果は、この場合は駄目）

計算が面倒なのがこの方法の難点。
判別式を使う手もあるが、今の質問者の段階では、この方法を理解すると良いだろう。

回答No.1

owata-www

(1)
（ｘ－８）（ｘ－９）＋（ｘ－１０）（ｘ－１２）＝０
→2x^2-39x+192＝0
解と係数の関係よりα＋β＝39/2、αβ＝192/2＝96

(2)
x^2-5x-5＝0の解はx=(5±3√5)/2
(5+3√5)/2＝5.…
より
(5+3√5)/2の小数部分は
(5+3√5)/2－５
になります、もう一方も同様

(3)
たすきがけを考えると
(x+2y+2)(x-y+2)
となるんで後は計算してください