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複素数と方程式
問題の解説が無く、解き方が分からなくて困ってます＞＜ 教えてください。 (1)２次方程式（ｘ－８）（ｘ－９）＋（ｘ－１０）（ｘ－１２）＝０ の２つの解をα、βとするとき、２（１１－α）（１１－β）の値を求めよ。 (2)２次方程式ｘ^2－5ｘ－5＝０の2つの解の小数部分を解とする 2次方程式をつくれ。 (3)x^2＋xy－2y^2＋kx＋2y＋４（ｋは正の定数）がx、yについての2つの1次式 の積で表されるとき、ｋの値を求めよ。
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最後が、(3) の 3rd opinion かな。 >(3)x^2＋xy－2y^2＋kx＋2y＋４（ｋは正の定数）がx、yについての2つの1次式 の積で表されるとき、ｋの値を求めよ。 No.2 さんのコメントに便乗。 ↓ >判別式を使う手もある.... ↓ 原式を x の 2次方程式とみる。 x^2 + (y + k)x + (-2y^2 + 2y + 4) = 0 …(A) 判別式 (y + k)^2 - 4*(-2y^2 + 2y + 4) = 9y^2 +(2k-8)y + k^2 - 16 …(B) が y 整式の二乗になればよい。 つまり式 (B) が二重根をもてばよいから、その判別式 (k - 4)^2 - 9(k^2 - 16) = 8(4-k)(5+k) …(C) が零になればよい。 あとの検査役はそちらにお任せ。 勘定が面倒なのはしようがないらしい。事務的(？)に勘定できるのが取りえです。
(2) は、#1 さんと同じ結論。 もとの解の一方が、もと解の小数部分 d と一致するらしい。 つまり、もとの解を求めんと、わからんのです。
(1) だけでも。 (x-8)(x-9)+(x-10)(x-12) = 2(x-α)(x-β) だから、 (11-8)(11-9)+(11-10)(11-12) = 2(11-α)(11-β)
- mister_moonlight
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＞(3)x^2＋xy－2y^2＋kx＋2y＋４（ｋは正の定数）がx、yについての2つの1次式の積で表されるとき、ｋの値を求めよ。 手間はかかるが、素直にやってみよう。 2つの1次式をx＋ay＋b、x＋cy＋dとする。条件式でx^2の係数が1である事に注意。 すると、x^2＋xy－2y^2＋kx＋2y＋4＝（x＋ay＋b）*（x＋cy＋d）＝x^2＋（a＋c）xy＋ac*y^2＋（b+d）x＋（bc＋ad）y＋bd。 つまり、a＋c＝1 ‥‥(1)、ac＝-2 ‥‥(2)、b+d＝k ‥‥(3)、bc＋ad＝2 ‥‥(4)、bd＝4 ‥‥(5). ここから、計算が面倒だが、(1)と(2)から （a、c）＝（2、-1）、or、（-1、2） （a、c）＝（2、-1）の場合は(4)と(5)から（b、d）＝（2、2）、or、（-4、-1）。そうすると、k＞0から kの値は？ （a、c）＝（-1、2）の場合も同じ。（結果は、この場合は駄目） 計算が面倒なのがこの方法の難点。 判別式を使う手もあるが、今の質問者の段階では、この方法を理解すると良いだろう。
- owata-www
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(1) （ｘ－８）（ｘ－９）＋（ｘ－１０）（ｘ－１２）＝０ →2x^2-39x+192＝0 解と係数の関係よりα＋β＝39/2、αβ＝192/2＝96 (2) x^2-5x-5＝0の解はx=(5±3√5)/2 (5+3√5)/2＝5.… より (5+3√5)/2の小数部分は (5+3√5)/2－５ になります、もう一方も同様 (3) たすきがけを考えると (x+2y+2)(x-y+2) となるんで後は計算してください
