高次方程式

質問

「係数が実数の４次方程式
x4乗＋ax3乗＋bx2乗＋d=0…(1)が1＋√(3)iを解に持つとする。
４つの異なる解を持ち、その絶対値がすべて等しく、かつ４つの解の和が１であるときの式(1)を求めよ」
という問題で、f(x)=(x2乗＋2x＋4)(x2乗＋(a＋2)x＋(2a＋b))まではわかるんですが、解答ではこのあと「条件より|1±√(3)i|=2」と書いてあるのですがなぜでしょうか？

回答No.1

pontiac_gp · ベストアンサー

複素数の絶対値を知っていますか？
z = a + bi （a,bは実数、iは虚数単位）ならば
|z| = √(a^2 + b^2) です。

1+(√3)iを解に持つことと
4つの解の絶対値が全て等しい、ということから
残り3つ（実質的には2つ）の解の絶対値は全て2
ということですね。

お礼

複素数の絶対値である|z| = √(a^2 + b^2)がすっかり頭から抜けていたみたいです。助かりました！

回答No.3

noname#101087

#2 です。

錯誤してましたね。
(1) 式は、
　　x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0
じゃありませんか？(c≠0)

　　(x^2-2x+4)(x^2+ex+f)
として、「４つの異なる解を持ち、その絶対値がすべて等しく、かつ４つの解の和が１である」
だけ考えればよかったのでした。
(x^2+ex+f) にて、
　　e=1
　　f=4
ということのようです。

回答No.2

noname#101087

「係数が実数」なので、1-i√3 も解。
つまり、(1) の左辺は (x^2-2x+4) で割り切れ、その商を (x^2+ex+f) とすれば、
　　e=a+2, 4=b, f=2e, 8e=d
が成立。

「４つの異なる解を持ち、その絶対値がすべて等しく、かつ４つの解の和が１」
(x^2+ex+f) = (x^2+ex+2e) の二つの零点が、絶対値 = 2 、和が-1 、ということ。

(途中省略)e=2 ですね。

お礼

ありがとうございました！