【高校数II】複素数と方程式について

質問

a,bは実数
方程式x^3-2x^2+6x-7=0
　　がx=2+iを解に持つときa,bの値と方程式の解を全て求めよ

この問題の解説に
“｛x-（2+i）｝｛c-（2-i）｝=x^2-4x+5 •••①
であり、x^3-2x^2+ax+bは①で割り切れる”
とありました。

これは、三次方程式は解の複素数とその共役の数をかけたもので割り切れる
という意味だと思ったのですが、この解釈で問題はないでしょうか？
また、なぜ割り切れるのでしょうか

初歩的な質問で申し訳ありません。解答よろしくお願いします。m(_ _)m

回答No.2

kiha181-tubasa

３次方程式の解をα，β，γとすると，３次方程式の左辺は
(x-α)(x-β)(x-γ)
と因数分解されますね。

ところで，「実数係数の方程式」が虚数を解に持つと，その共役複素数も解になりますが，その理由はお分かりですか。念のため……
実数係数の２次方程式で，解の公式
x=(-b±√(b^2-4ac)/2a
で，虚数になるのはb^2-4ac<0 の時で，ここにiが生じます。つまり√(b^2-4ac)=ki（kは実数）
とすると
x=(-b±ki)/2a=-b/2a±ki/2a
となり，共役な２つの虚数解を持つことになるのですね。

このことから
「2+iを解に持つ」という条件から「2-iも解である」となるから，３次方程式の左辺は
(x-(2+i))(x-(2-i))(x-?)
と因数分解されることになるのです。つまり左辺は(x-(2+i))(x-(2-i))で割り切れると言う事です。

回答No.1

asuncion

＞a,bは実数
＞方程式x^3-2x^2+6x-7=0
これ、a, bの答えを書いてませんか？