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複素数と方程式の解
3次方程式x^3-2x^2+x+1=0の三つの解をα、β、γとする。この時αβ、βγ、αγを三つを三つの解とするxの三次方程式を作れ。ただし、x^3の係数は1とする。 解と係数の関係よりαβ+βγ+αγ=1、αβγ=-1、α+β+γ=2。よってαβ・βγ・αγ=1。という所まで求めました。ここから先の考え方を教えて下さい。回答、よろしくお願いします。
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αβ、βγ、αγを3つの解とする方程式は (x-αβ)(x-βγ)(x-αγ)=0です。 この式を展開し整理すると、 x^3-(αβ+βγ+αγ)x^2+αβγ(α+β+γ)x-(αβγ)^2=0 となり、そのまま解と係数の関係からの値を代入すれば出来ると思います。 x^3-x^2-2x-1=0 で良いのではないでしょうか。 計算は確かめて下さい。
お礼
お礼が遅くなってすみません。 >(x-αβ)(x-βγ)(x-αγ)=0です。 この方程式を思いつきませんでした。言われてみて、そうだ!!とひらめきました。回答、ありがとうございました。