1/{z^2(z+1)^2} のローラン展開

質問

0<|z|<1の場合は、1/(1+z) を微分すればうまい具合に計算できるのですが、|z|>1の場合がわかりません。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

f(z) = 1/z^2 - 2/z + 2/(z+1) + 1/(z+1)^2
であり、これを 1<|z| のとき、z=0 のまわりでLaurent展開するということですが、
問題は後半の２分数です。
2/(z + 1) = (2/z)* 1/{1 + (1/z)} = (2/z)*Σ (-1/z)^k.
1/(z+1)^2 の展開は、
1/(1 + X)^2 = 1 - 2*X + 3*X^2 - 4*X^3 + ...,, (|X|<1) (この導出は平易)の利用です。
1/(z + 1)^2 =【(1/z)* 1/{1 + (1/z)}】^2
= (1/z)^2*【1 - 2(1/z) + 3*(1/z)^2 -...】.
あとは整理してください。