f(z)=tan(z)のローラン展開に関する質問。

質問

こちらの質問サイトに投稿された質問と解答を基に質問があります。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13896555.html

質問1,
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開
を導く為に、

a(n)
=res(g(z),π/2)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz
などの積分が難しくなる積分公式を使わずに、

a(n)
={1/(n+1)!}lim_(z->n/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_(z->n/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を使い、

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開の式であるg(z)=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^mを展開して、ローラン展開したg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の各a(n)をa(n)={1/(n+1)!}lim_(z->n/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)により求めて、各a(n)に代入して
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開を導いて次項(z-a)をずらす事でf(z)=tan(z)のローラン展開を導けると思うのですが、

仮に上記のやり方でf(z)=tan(z)のローラン展開を導ける場合は上記のやり方でf(z)=tan(z)のローラン展開を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

質問2,
2024.8.28 15:32の解答の
「(z-π/2)^(n+2)g(z)=(z-π/2)tan(z)が正則になるのであって
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は正則ではありません
(z-π/2)^(n+2)g(z)=(z-π/2)tan(z)を微分するのであって
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)を微分するのではありません

g(z)の積分
と
(z-π/2)^(n+2)g(z)の微分
が
一致するのです」

や

2024.8.30 04:04の解答の
「g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の積分
{1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz=a(n)
と
(z-π/2)^(n+2)g(z)=(z-π/2)tan(z)の(n+1)回微分
(を(z→π/2)し1/(n+1)!した)
{1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=a(n)
が
一致するのです」

の部分は何を伝えたいのか理解できませんでした。

どうかよろしくお願い致します。

回答No.1

gamma1854

g(z)=tan(z)/(z - pi/2)^(n+1), (n=1, 2, ...) について、
z-pi/2=u とおけば、g(z)=(-1/u^n)*u*cot(u)
=(-1/u^n)*【1 - Σ[k=1~∞]{ 2^(2k)*B[k] / (2k)! }*u^(2k)】
=(-1/n^n) + Σ[k=1~∞]{ 2^(2k)*B[k] / (2k)! }*u^(2k-n).
これから、n=3, 5, 7, ... のとき、
Res(g, pi/2) = 2^(n-1)*B[(n-1)/2] / (n-1)!.
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B[k] ... Bernoulli number