ローラン展開について

質問

ローラン展開について質問です。
教科書の例題にて、1/(z-2)のz1(≠2)を中心としたローラン展開を
|z-z1|>|z-2|(z=2を含む領域)の範囲で幾何級数を用いて解く例題があり、その次の問題で
「ローラン展開の定義の積分より導いて例で求めた展開と一致することを確かめよ」という問題があります。

例題の方の答えは
Σ(n=0~∞)(2-z1)^n/(z-z1)^n+1
となっているのですが、定義の積分から導くと一致しません。

定義式にあてはめて、
An=1/2πi∫1/(z-2)(z-z1)^(n+1)dz
特異点はz=2のみなので、コーシーの積分公式を用いて、
An=g(2), g(z)=1/(z-z1)^(n+1) として
An=1/(2-z1)^(n+1)
よって、f(z)=Σ(n=-∞~∞)(z-z1)^n/(2-z1)~(n+1)
となりました。

ただ変形するだけなのか、根本的にやり方が間違っているのか、教科書に解答が載っていないのでわかりません。
教えて頂けると助かります。

回答No.1

de_Raemon · ベストアンサー

＞|z-z1|>|z-2|(z=2を含む領域)の範囲で幾何級数を用いて

答えから類推して|z-z1|>|2-z1|の領域じゃないですか？

＞An=1/2πi∫1/(z-2)(z-z1)^(n+1)dz
＞特異点はz=2のみなので

ここが間違ってます。
周回積分の経路は|z-z1|>|2-z1|の領域内にとるので経路の内部には
z=2にある1位の極の他にn≧0に対してz=z1にn+1位の極があります。

n＜0では特異点はz=2にある1位の極だけなので質問者さんの言うとおり
An=1/(2-z1)^(n+1)　(n=-∞～-1)
ですがn≧0に対してはちがってきます。具体的にA0とA1を計算してみます。

A0=1/2πi∫1/((z-2)(z-z1))dz
被積分関数はz=2とz=z1に1位の極をもつのでA0はそれぞれの留数の和で
A0=1/(2-z1) + 1/(z1-2)=0

A1=1/2πi∫1/((z-2)(z-z1)^2)dz
被積分関数をp(z)とおくとz=z1に2位の極があるので
p(z)=B[-2]/(z-z1)^2 + B[-1]/(z-z1) +…
と展開できるはずです。B[k]はk次の項の係数です。
留数の計算で必要なのはB[-1]だけで
B[-1]=(d/dz)(p(z)(z-z1)^2) (z=z1) = (d/dz)(1/(z-2)) (z=z1) = -1/(z1-2)^2
またz=2に関する留数は1/(2-z1)^2なので
A1=1/(2-z1)^2 - 1/(z1-2)^2=0

A2以下についても0になることを示すのはそれほど難しくないと思います。結局
f(z)=Σ(n=-∞～-1)(z-z1)^n/(2-z1)~(n+1)
を得ますが、和の範囲が(n=-∞～-1)であることに注意してください。
-(n+1)をmとでもおけば
f(z)=Σ(m=0～∞)(2-z1)^m/(z-z1)^m+1
となって幾何級数を用いた結果と一致します。

お礼

>答えから類推して|z-z1|>|2-z1|の領域じゃないですか？

すいません|z-z1|>|z-2|は間違いでした、それで正しいです。申し訳ありません。

なるほど確かにz=z1も考慮しなければいけませんね！
f(z)の特異点の周りのローラン展開しか解いていなかったので気づきませんでした。
とてもわかりやすい回答どうもありがとうございます。勉強になりました！